컨버터의 평균화 모델

평균화

선형 제어론을 통해 컨버터의 제어기를 설계하려면 컨버터를 LTI 시스템으로 바꿔야합니다. 그 첫번째 과정인 평균화(Averaging)에 대해 설명하겠습니다. 평균화는 스위칭 주기에 대해 컨버터의 동작(회로의 상태, 스위칭)의 평균을 낸다는 의미입니다. 즉, 시간 의존성을 없애고 시불변 시스템으로 바꾸는 과정입니다. 다음 파형을 살펴봅시다.

스위칭으로 인해 톱니 파형이 나타나는 것을 볼 수 있습니다. 매 시각마다 평균을 구하면 매끄러운 하나의 곡선으로 바뀝니다.

컨버터를 살펴보면 스위치가 켜진 시간(온-타임)과 꺼진 시간(오프-타임)에서의 회로가 다릅니다. 평균화를 하는 두 방법이 있습니다. 하나는 상태 공간 평균화(State-Space Averaging)을 이용한 것이고, 다른 하나는 회로 평균화(Circuit Averaging)를 이용한 것입니다.

상태 공간 평균화

우선 상태 공간 평균화에 대해 설명하겠습니다. 상태 공간 평균화는 상태 공간 모델을 이용한 평균화입니다. 온-타임과 오프-타임에서의 회로도가 다르므로 각 경우에 대해 상태 공간 표현식을 구해야 합니다. 일반적인 상태 공간 표현식은 다음의 형태입니다.

\[\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}v_{in}(t)\\ v_o(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}v_{in}(t) \end{cases}\]

\(\mathbf{x}(t),v_{in}(t),v_o(t)\)는 각각 상태 벡터, 입력 전압, 출력 전압입니다. \(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}\)는 각각 상태 행렬, 입력 행렬, 출력 행렬, 피드포워드 행렬입니다. 하지만 컨버터에는 입력 신호가 출력단으로 직접적으로 전달되는 경로가 없습니다. 따라서 \(\mathbf{D}\)는 \(\mathbf{0}\)입니다. 그러므로 컨버터의 상태 공간 표현식은 다음과 같습니다.

\[\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}v_{in}(t)\\ v_o(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t) \end{cases}\]

여기서 상태 변수로는 주로 인덕터 전류와 축전기 전압이 이용됩니다. 인덕터의 전압은 인덕터 전류의 시간 미분을 통해 구할 수 있고, 축전기 전류는 축전기 전압의 시간 미분을 통해 구할 수 있습니다. 두 변수의 시간 미분이 컨버터의 동 특성을 표현하는데 이용되므로, 두 변수가 주로 이용됩니다.

상태 공간 평균화 과정

상태 공간 평균화를 어떤 과정을 통해 하는지 설명하겠습니다. 먼저 컨버터의 온-타임과 오프-타임에서의 상태 공간 표현식을 구해야 합니다. 다음으로 스위칭 함수를 이용하여 두 식을 하나의 식으로 합쳐야 합니다. 마지막으로 평균을 내면 평균화 상태 공간 모델을 얻을 수 있습니다.

온-타임 상태 공간 표현식

먼저 온-타임에서 상태 공간 표현식은 다음과 같습니다.

\[\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}_{on}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}_{on}v_{in}(t)\\ v_o(t)=\mathbf{C}_{on}\mathbf{x}(t) \end{cases}\]

\(on\)은 온-타임을 의미합니다. 각 컨버터에 대해 회로 법칙을 적용하여 행렬의 성분들을 모두 구하면 됩니다.

오프-타임 상태 공간 표현식

다음으로 오프-타임에서의 상태 공간 표현식은 다음과 같습니다.

\[\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}_{off}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}_{off}v_{in}(t)\\ v_o(t)=\mathbf{C}_{off}\mathbf{x}(t) \end{cases}\]

\(off\)는 오프-타임을 의미합니다. 각 컨버터에 대해 회로 법칙을 적용하여 행렬의 성분들을 모두 구하면 됩니다.

스위칭 상태 공간 모델

이제 두 식을 하나의 식으로 나타내야 합니다. 이는 다음의 스위칭 함수를 이용하면 됩니다.

\[q(t)=\begin{cases} 1\ \ \ \text{(on-time)}\\ 0\ \ \ \text{(off-time)} \end{cases}\]

온-타임에서는 \(1\)이 출력되고, 오프-타임에서는 \(0\)이 출력됩니다. 온-타임 표현식은 스위칭 함수가 \(1\)일 때 나타나야하고 이때 오프-타임 표현식은 나타나면 안 됩니다. 따라서 온-타임 식에는 \(q(t)\)가 곱해지고, 오프-타임 식에는 \(1-q(t)\)가 곱해져야 하는 것을 알 수 있습니다. 이는 다음과 같이 나타납니다.

\[\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t)=\left(q(t)\mathbf{A}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{A}_{off}\right)\mathbf{x}(t)+\left(q(t)\mathbf{B}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{B}_{off}\right)v_{in}(t)\\ v_o(t)=\left(q(t)\mathbf{C}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{C}_{off}\right)\mathbf{x}(t) \end{cases}\]

온-타임 식과 오프-타임 식을 하나의 식으로 나타냈습니다. 식을 살펴보면 아직 스위칭 타이밍에 의존합니다. 따라서 스위칭 타이밍과 관계 없는 식을 구해야 합니다.

듀티 함수

스위칭 상태 공간 모델을 평균화하려면 전체 식의 평균을 구해야 합니다. 먼저 평균화된 스위칭 함수를 구해봅시다. 스위칭 함수는 듀티 비를 나타냅니다. 따라서 다음과 같이 스위칭 함수의 이동 평균(Moving Average)을 구하면 연속 듀티 함수를 구할 수 있습니다.

\[d(t)=\overline{q}(t)=\frac{1}{T_s}\int_{t-T_s}^tq(t')dt'\]

다음은 스위칭 함수를 듀티 함수로 바꾸는 과정을 그래프로 나타낸 것입니다.

먼저 실제 듀티 비는 스위칭 타이밍에 맞춰 결정되는 이산적인 양입니다. 이 이산적인 양을 연속적으로 바꿀 필요가 있습니다. 실제 듀티 비를 연속 듀티 함수와 비교해봅시다. 실제 듀티 비에 비해 약간의 지연이 발생하는 것을 알 수 있습니다. 이동 평균은 적분을 통해 현재 시각에서의 듀티 비를 구하는 것입니다. 이 적분은 현재 시각에서 \(T_s\)만큼의 과거로부터 현재 시각까지 값을 누적합니다. 과거의 정보가 담겨있으므로, 지연이 발생할 수밖에 없습니다. 하지만 이 정도의 오차는 공학에서 용인됩니다.

평균화 상태 공간 모델

이제 스위칭 상태 공간 모델을 평균화해봅시다.

\[\begin{cases} \dot{\overline{\mathbf{x}}}(t)=\overline{\left(q(t)\mathbf{A}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{A}_{off}\right)\mathbf{x}(t)+\left(q(t)\mathbf{B}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{B}_{off}\right)v_{in}(t)}\\ \overline{v}_o(t)=\overline{\left(q(t)\mathbf{C}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{C}_{off}\right)\mathbf{x}(t)} \end{cases}\]

여기서 3가지의 가정을 합니다.

평균화는 선형 연산입니다.
행렬들은 모두 상수입니다.
상태 벡터와 입력 변수가 평균으로부터의 편차가 크지 않다면, \(\overline{q(t)\mathbf{x}(t)}\approx\overline{q}(t)\overline{\mathbf{x}}(t),\overline{q(t)v_{in}(t)}\approx\overline{q}(t)\overline{v}_{in}(t)\)와 같이 근사할 수 있습니다.

이 가정을 통해 구한 평균화 상태 공간 모델은 다음과 같습니다.

\[\begin{align*} &\begin{cases} \dot{\overline{\mathbf{x}}}(t)=\overline{\left(q(t)\mathbf{A}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{A}_{off}\right)\mathbf{x}(t)+\left(q(t)\mathbf{B}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{B}_{off}\right)v_{in}(t)}\\ \overline{v}_o(t)=\overline{\left(q(t)\mathbf{C}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{C}_{off}\right)\mathbf{x}(t)} \end{cases}\\ &\rightarrow\begin{cases} \dot{\overline{\mathbf{x}}}(t)=\left(d(t)\mathbf{A}_{on}+\left(1-d(t)\right)\mathbf{A}_{off}\right)\overline{\mathbf{x}}(t)+\left(d(t)\mathbf{B}_{on}+\left(1-d(t)\right)\mathbf{B}_{off}\right)\overline{v}_{in}(t)\\ \overline{v}_o(t)=\left(d(t)\mathbf{C}_{on}+\left(1-d(t)\right)\mathbf{C}_{off}\right)\overline{\mathbf{x}}(t) \end{cases} \end{align*}\]

평균화된 모델의 활용

우선, 이 모델을 이용하면 시간에 따라 변하지 않는 하나의 회로처럼 다룰 수 있습니다. 또한 \(\dot{x}(t)=0,v_{in}(t)=V_{in},d(t)=D\)로 두면 정상 상태를 분석할 수 있습니다. 그리고 이 모델을 이용하면 실제 스위칭 파형을 매 스위칭 주기마다 시뮬레이션하지 않아도 됩니다. 그러므로 시뮬레이션 시간이 많이 단축됩니다. 마지막으로 이 모델을 선형화하면, 주파수 영역에서 제어기를 설계할 수 있게 됩니다.

상태 공간 평균화의 단점

이 방법은 파워 스테이지 전체를 수식으로 표현해야 합니다. 따라서 리액턴스 성분이 많은 컨버터일수록 시간이 오래 걸립니다. 또 다른 문제는 상태 표현식의 형태입니다. 이런 형태의 표현식은 일반적인 시뮬레이션 프로그램에 직접적으로 적용할 수 없습니다.

회로 평균화

다음으로 회로 평균화(Circuit Averaging)에 대해 설명하겠습니다. 다음 과정을 통해 이루어집니다.

파워 스테이지의 각 소자와 관련된 변수들의 동작에 대한 평균 식을 구합니다.
1번을 만족하도록 각 소자를 등가 회로로 치환합니다.
이렇게 얻어진 등가 회로를 파워 스테이지의 각 소자들에 적용합니다.
이 과정을 파워 스테이지 내의 모든 소자들에 대해 적용합니다.

각 소자들 일일이 하나씩 모델링할 필요는 없습니다. 몇몇 소자가 그룹화되어 하나의 소자처럼 동작한다면, 그 그룹 전체를 등가 회로로 모델링하면 됩니다.

PWM 스위치

먼저 스위치를 평균화 해봅시다. 컨버터는 기본적으로 SPDT 스위치의 스위칭을 통해 동작합니다. 이러한 PWM 방식의 컨버터에서 쓰이는 스위치를 PWM 스위치(PWM Switch)라고 합니다. 다음의 PWM 스위치를 살펴봅시다.

\(a\)(active)단자, \(p\)(passive)단자, \(c\)(common)단자로 총 3개의 단자로 구성된 스위치입니다. \(a\)단자에는 직접 신호를 입력하여 구동시키는 스위치가 연결됩니다. 보통 트랜지스터를 이용합니다. \(p\)단자에는 주변 환경에 따라 간접적으로 구동되는 스위치가 연결됩니다. 보통 다이오드를 이용합니다. \(c\)단자는 각 단자에 대해 도통될 수 있는 경로를 제공합니다.

온-타임에는 \(a-c\)경로가 도통되고, 오프-타임에는 \(c-p\)경로가 도통됩니다. 비절연형 컨버터에서는 \(a\)단자에 MOSFET이 연결되어 있고, \(p\)단자에는 다이오드가 연결되어 있으며, \(c\)단자에는 인덕터가 연결되어 있습니다. 이 PWM 스위치를 다음과 같이 SPDT 스위치로 모델링해봅시다.

우리가 주목할 변수는 \(v_{ap},v_{cp},i_a,i_c\)입니다. 그리고 \(d\)는 온-타임(듀티 비)을 나타냅니다. \(a\)단자에 흐르는 전류는 \(a-c\)경로가 단락될 때만 흐릅니다. 또한 \(c-p\)단자 사이의 전압은 \(a-c\)경로가 단락될 때만 걸립니다. 이런 전압과 전류의 관계를 스위칭 함수를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[\begin{cases} v_{cp}(t)=v_{ap}(t)q(t)\\ i_a(t)=i_c(t)q(t) \end{cases}\]

좌변의 변수들은 연속적이지 않습니다. 연속된 변수로 만들기 위해 이전에 언급한 가정을 가지고 평균화하면 다음과 같습니다.

\[\begin{cases} \overline{v}_{cp}(t)=\overline{v_{ap}(t)q(t)}\approx\overline{v}_{ap}(t)d(t)\\ \overline{i}_{a}(t)=\overline{i_{c}(t)q(t)}\approx\overline{i}_{c}(t)d(t) \end{cases}\]

PWM 스위치는 손실이 없는 소자입니다. 다음과 같이 전력이 전달된다고 생각할 수 있습니다.

\[\begin{align*} &\overline{v}_{ap}\overline{i}_ad(t)=\overline{v}_{cp}d(t)\overline{i}_c\\ &\rightarrow\overline{v}_{ap}\overline{i}_a=\overline{v}_{cp}\overline{i}_c \end{align*}\]

위 관계식과 전력 전달 식을 살펴보면 PWM 스위치의 평균화 모델이 턴 비가 \(1:d(t)\)인 이상 변압기의 관계식과 같음을 알 수 있습니다. 또한 PWM 스위치는 단자가 3개인 소자입니다. 따라서 다음과 같은 이상 변압기로 모델링할 수 있습니다.

평균화된 파형

다음의 파형을 살펴봅시다.

스위칭의 영향을 받는 파형을 평균화하면 매끄러운 파형이 도출됩니다. 이와 같이 평균화를 통해 스위칭에 의한 효과가 사라집니다.

회로 평균화의 의의

평균화 모델은 정상 상태 분석을 위해 활용되기도 합니다. 정상 상태에서는 연속 듀티 함수가 정상 상태 듀티 비 \(D\)로 바뀝니다. 또한 인덕터는 단락된 상태이고, 축전기는 개방된 상태입니다. 이 조건 하에 특정 동작점에서 회로 법칙을 통해 출력 전압을 구할 수 있습니다.

회로 평균화의 장점

회로 평균화는 상태 공간 평균화보다 나은 점들이 있습니다. 먼저 파워 스테이지에 평균화 연산을 직접적으로 합니다. 상태 공간 평균화에 비해 계산이 간단합니다. 그리고 평균화된 모델이 상태 공간 모델과는 다르게 원래의 파워 스테이지와 거의 비슷합니다. 따라서 이는 프로그래밍 하기 쉬워서 시뮬레이션을 수행하기에 비교적 유리합니다.

평균화 기법

두 기법은 접근 방식이 다르지만, 기능적으로는 동일합니다. 회로 평균화 모델에 회로 법칙을 적용한 식은 상태 공간 평균화 모델과 동일합니다.

비절연형 컨버터의 평균화 모델

자세한 내용은 각 문서 참고 바랍니다.

[벅 컨버터]
[부스트 컨버터]
[벅-부스트 컨버터]

벅 컨버터

벅 컨버터의 평균화 모델은 다음과 같습니다.

부스트 컨버터

부스트 컨버터의 평균화 모델은 다음과 같습니다.

벅-부스트 컨버터

벅-부스트 컨버터의 평균화 모델은 다음과 같습니다.

라커비의 공부방