라커비의 공부방
파워 스테이지의 전달 함수
목차
주파수 응답
시스템을 분석할 때, 입력 변동에 대해 출력이 어떻게 변하는지 관측합니다. 입력은 다양한 주파수 성분을 지니고 있습니다. 따라서 주파수 영역에서 분석을 하면, 특정 주파수에서 출력이 어떻게 변하는지 알 수 있습니다.
전달 함수
주파수 영역에서 캐스케이딩은 두 함수의 곱으로 나타낼 수 있으므로 출력을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[x_o(s)=T(s)x_{in}(s)\]여기서 입력 변동에 대한 출력 변동의 비를 전달 함수(Transfer Function)라고 합니다.
\[T(s)=\frac{x_o(s)}{x_{in}(s)}\]주파수 영역에서만 비로 정의됩니다.
주파수 응답 분석
주파수 응답을 분석하기 위해 다음과 같이 \(s=j\omega\)를 대입합시다.
\[T(j\omega)=\frac{x_o(j\omega)}{x_{in}(j\omega)}\]이 전달 함수의 크기와 위상을 분석하면 주파수 응답을 알 수 있습니다.
\[\begin{cases} \left\vert T(j\omega)\right\vert=\displaystyle\frac{x_o(j\omega)}{x_{in}(j\omega)}\\ \angle T(j\omega)=\angle x_{o}(j\omega)-\angle x_{in}(j\omega) \end{cases}\]컨버터의 구성
다음은 컨버터의 블록 다이어그램입니다.
컨버터를 분석하기 위해 각 부분의 개루프 전달 함수를 알아야 합니다. \(F_m,-F_v\)는 컨버터의 소신호 모델에서 다뤘습니다. 이제 구해야 하는 전달 함수는 다음과 같습니다.
- 개루프 입력-출력 전달 함수 \(G_{vs}(s)=\displaystyle\frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{v}_{in}(s)}\)
- 개루프 듀티 비-출력 전달 함수 \(G_{vd}(s)=\displaystyle\frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{d}(s)}\)
- 개루프 출력 임피던스 전달 함수 \(Z_p(s)=\displaystyle\frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{i}_o(s)}\)
이 전달 함수들을 모두 구하면 컨버터의 전달 함수를 구하여 제어기를 설계할 수 있습니다.
개루프 전달 함수
전달 함수는 기본적으로 하나의 변수가 변할 때, 우리가 관심을 갖는 변수가 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 그러므로 두 변수를 제외하고 다른 변수의 변화는 없다고 가정합니다. 이렇게 가정을 하고 나면 회로가 더 간단해집니다. 적당한 지점에 대해 KVL, KCL 등의 회로 법칙을 적용하여 원하는 개루프 전달 함수를 구할 수 있습니다. 이때, 기생 저항들을 모두 고려해야 합니다. 뒤에 나오지만 기생 저항에 의한 항이 동작에 영향을 미치기 때문입니다. 단, 이 기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작은 값을 가집니다.
\[R_l,R_c\ll R\]벅 컨버터
벅 파워 스테이지의 소신호 모델은 다음과 같습니다.
벅 컨버터의 \(G_{vs}(s)\)
우리가 관심을 갖는 변수는 \(\hat{v}_{in},\hat{v}_o\)입니다. 따라서 다음과 같이 다른 변수의 변화는 \(0\)으로 가정합니다.
\[\hat{d}(s)=\hat{i}_o(s)=0\]이 조건 하에 회로가 다음과 같이 바뀝니다.
변압기의 2차 측에 전압 \(D\hat{v}_{in}(s)\)가 걸립니다. 전압 분배를 이용하면 다음과 같습니다.
기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작으므로 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
따라서 벅 컨버터의 개루프 입력-출력 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[G_{vs}(s)=D\frac{1+\displaystyle\frac{s}{\omega_{esr}}}{1+\displaystyle\frac{s}{Q\omega_0}+\displaystyle\frac{s^2}{\omega_0^2}}\]벅 컨버터의 \(G_{vd}(s)\)
우리가 관심을 갖는 변수는 \(\hat{d},\hat{v}_o\)입니다. 따라서 다음과 같이 다른 변수의 변화는 \(0\)으로 가정합니다.
\[\hat{v}_{in}(s)=\hat{i}_o(s)=0\]이 조건 하에 회로가 다음과 같이 바뀝니다.
변압기의 2차 측에 전압 \(V_{in}\hat{d}(s)\)가 걸립니다. 전압 분배를 이용하면 다음과 같습니다.
기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작으므로 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
따라서 벅 컨버터의 개루프 듀티 비-출력 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[G_{vd}(s)=V_{in}\frac{1+\displaystyle\frac{s}{\omega_{esr}}}{1+\displaystyle\frac{s}{Q\omega_0}+\displaystyle\frac{s^2}{\omega_0^2}}\]벅 컨버터의 \(Z_p(s)\)
우리가 관심을 갖는 변수는 \(\hat{i}_o,\hat{v}_o\)입니다. 따라서 다음과 같이 다른 변수의 변화는 \(0\)으로 가정합니다.
\[\hat{v}_{in}(s)=\hat{d}(s)=0\]이 조건 하에 회로가 다음과 같이 바뀝니다.
변압기의 2차 측이 단락되었습니다. 변압기의 2차 측과 출력단을 거치는 폐회로를 따라 KVL을 적용하면 다음과 같습니다.
기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작으므로 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
따라서 벅 컨버터의 개루프 출력 임피던스 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[Z_p(s)=R_l\frac{\left(1+\displaystyle\frac{s}{\omega_z}\right)\left(1+\displaystyle\frac{s}{\omega_{esr}}\right)}{1+\displaystyle\frac{s}{Q\omega_0}+\displaystyle\frac{s^2}{\omega_0^2}}\]부스트 컨버터
부스트 파워 스테이지의 소신호 모델은 다음과 같습니다.
부스트 컨버터의 \(G_{vs}(s)\)
우리가 관심을 갖는 변수는 \(\hat{v}_{in},\hat{v}_o\)입니다. 따라서 다음과 같이 다른 변수의 변화는 \(0\)으로 가정합니다.
\[\hat{v}_{in}(s)=\hat{i}_o(s)=0\]이 조건 하에 회로가 다음과 같이 바뀝니다.
이제 다음과 같이 입력단과 변압기를 거치는 폐회로를 따라 KVL을 적용하고, 출력단에 KCL을 적용하면 다음과 같습니다.
기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작으므로 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
따라서 부스트 컨버터의 개루프 입력-출력 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[G_{vs}(s)=\frac{1}{D'}\frac{1+\displaystyle\frac{s}{\omega_{esr}}}{1+\displaystyle\frac{s}{Q\omega_0}+\displaystyle\frac{s^2}{\omega_0^2}}\]벅 컨버터의 경우와는 다르게 공진 주파수와 Q 인자가 듀티 비에 의존하는 형태로 나옵니다. 이는 인덕터가 출력단 축전기와 직접적으로 연결되어 있지 않고, PWM 스위치에 의해 분리되어 있어서 그렇습니다. 벅 컨버터는 스위치의 연결 상태와 관계 없이 출력에 인덕터가 직접 관여했습니다. 하지만 부스트 컨버터는 스위치가 꺼진 상태에만 출력에 인덕터가 관여합니다. 따라서 \(D'=1-D\)의 제곱으로 나눠진 유효 인덕턴스로 계산됩니다. 전력 전달 관점에서 볼 때, 이상 변압기에서 유효 임피던스는 턴 비의 제곱이 곱해지거나 나눠집니다. 이와 동일하게 해석하면 됩니다. 따라서 부스트 컨버터의 입력-출력 동 특성은 동작점에 의존하는 것을 알 수 있습니다.
부스트 컨버터의 \(G_{vd}(s)\)
우리가 관심을 갖는 변수는 \(\hat{d},\hat{v}_o\)입니다. 따라서 다음과 같이 다른 변수의 변화는 \(0\)으로 가정합니다.
\[\hat{d}(s)=\hat{i}_o(s)=0\]이 조건 하에 회로가 다음과 같이 바뀝니다.
이제 다음과 같이 입력단과 출력단을 거치는 폐회로를 따라 KVL을 적용하고, 출력단에 KCL을 적용하면 다음과 같습니다.
기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작으므로 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
따라서 부스트 컨버터의 개루프 듀티 비-출력 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[G_{vd}(s)=\frac{V_{in}}{D'^2}\frac{\left(1-\displaystyle\frac{s}{\omega_{rhp}}\right)\left(1+\displaystyle\frac{s}{\omega_{esr}}\right)}{1+\displaystyle\frac{s}{Q\omega_0}+\displaystyle\frac{s^2}{\omega_0^2}}\]전달 함수를 보면 분자에 우반면 영점이 포함되어 있습니다. 이 영점은 동작점에 의존합니다. 따라서 동작점이 변하면 이 영점 또한 변하므로 이동 우반면 영점(Moving RHP Zero)이라고 합니다. 이 영점은 일반적으로 esr 영점보다 낮은 값입니다. 분모에는 이중 극점이 존재하므로 전달 함수의 위상이 \(-180^{\circ}\)보다 낮아지는 구간이 생깁니다. 이런 시스템을 비 최소 위상 시스템(Non-Minimum Phase System)이라고 합니다. 이런 시스템은 우반면 영점으로 인해 제어기 설계 난이도가 상승합니다. 듀티 비를 높이면 조금 완회될 수는 있으나 의미가 있지는 않습니다. 자세한 내용은 컨버터의 전압 모드 제어 문서를 참고 바랍니다.
부스트 컨버터의 \(Z_p(s)\)
우리가 관심을 갖는 변수는 \(\hat{i}_o,\hat{v}_o\)입니다. 따라서 다음과 같이 다른 변수의 변화는 \(0\)으로 가정합니다.
\[\hat{v}_{in}(s)=\hat{d}(s)=0\]이 조건 하에 회로가 다음과 같이 바뀝니다.
이제 다음과 같이 입력단과 출력단을 거치는 폐회로를 따라 KVL을 적용하고, 출력단에 KCL을 적용하면 다음과 같습니다.
기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작으므로 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
따라서 부스트 컨버터의 개루프 출력 임피던스 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[Z_p(s)=\frac{R_l}{D'^2}\frac{\left(1+\displaystyle\frac{s}{\omega_z}\right)\left(1+\displaystyle\frac{s}{\omega_{esr}}\right)}{1+\displaystyle\frac{s}{Q\omega_0}+\displaystyle\frac{s^2}{\omega_0^2}}\]벅-부스트 컨버터
벅-부스트 파워 스테이지의 소신호 모델은 다음과 같습니다.
벅-부스트 컨버터의 \(G_{vs}(s)\)
우리가 관심을 갖는 변수는 \(\hat{v}_{in},\hat{v}_o\)입니다. 따라서 다음과 같이 다른 변수의 변화는 \(0\)으로 가정합니다.
\[\hat{d}(s)=\hat{i}_o(s)=0\]이 조건 하에 회로가 다음과 같이 바뀝니다.
이제 다음과 같이 출력단과 변압기를 거치는 폐회로를 따라 KVL을 적용하고, 출력단에 KCL을 적용하면 다음과 같습니다.
기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작으므로 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
따라서 부스트 컨버터의 개루프 입력-출력 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[G_{vs}(s)=\frac{D}{D'}\frac{1+\displaystyle\frac{s}{\omega_{esr}}}{1+\displaystyle\frac{s}{Q\omega_0}+\displaystyle\frac{s^2}{\omega_0^2}}\]벅-부스트 컨버터의 \(G_{vd}(s)\)
우리가 관심을 갖는 변수는 \(\hat{d},\hat{v}_o\)입니다. 따라서 다음과 같이 다른 변수의 변화는 \(0\)으로 가정합니다.
\[\hat{d}(s)=\hat{i}_o(s)=0\]이 조건 하에 회로가 다음과 같이 바뀝니다.
이제 다음과 같이 변압기와 출력단을 거치는 폐회로를 따라 KVL을 적용하고, 출력단에 KCL을 적용하면 다음과 같습니다.
기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작으므로 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
따라서 벅-부스트 컨버터의 개루프 듀티 비-출력 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[G_{vd}(s)=\frac{V_{in}}{D'^2}\frac{\left(1-\displaystyle\frac{s}{\omega_{rhp}}\right)\left(1+\displaystyle\frac{s}{\omega_{esr}}\right)}{1+\displaystyle\frac{s}{Q\omega_0}+\displaystyle\frac{s^2}{\omega_0^2}}\]벅-부스트 컨버터의 \(Z_p(s)\)
우리가 관심을 갖는 변수는 \(\hat{i}_o,\hat{v}_o\)입니다. 따라서 다음과 같이 다른 변수의 변화는 \(0\)으로 가정합니다.
\[\hat{v}_{in}(s)=\hat{d}(s)=0\]이 조건 하에 회로가 다음과 같이 바뀝니다.
이제 다음과 같이 변압기와 출력단을 거치는 폐회로를 따라 KVL을 적용하고, 출력단에 KCL을 적용하면 다음과 같습니다.
기생 저항들은 부하 저항에 비해 매우 작으므로 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
따라서 벅-부스트 컨버터의 개루프 출력 임피던스 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[Z_p(s)=\frac{R_l}{D'^2}\frac{\left(1+\displaystyle\frac{s}{\omega_z}\right)\left(1+\displaystyle\frac{s}{\omega_{esr}}\right)}{1+\displaystyle\frac{s}{Q\omega_0}+\displaystyle\frac{s^2}{\omega_0^2}}\]실험을 통한 개루프 듀티 비-출력 전달 함수 분석
개루프 듀티 비-출력 전달 함수를 실험적으로 알아내려면 다음과 같이 실험을 세팅해야 합니다.
듀티 비에 변화를 주려면 PWM 블록에 입력되는 제어 전압이 변화를 줘야합니다. 또 이 제어 전압을 변화시키려면 연산 증폭기의 단자에 소신호를 입력해야 합니다. 소신호가 입력되면 제어 전압은 다음과 같이 dc항과 소신호 항으로 나타낼 수 있습니다.
\[v_{ctrl}=V_{dc}+\hat{v}_p\]그리고 듀티 비는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[d(t)=D+\hat{d}(t)\]소신호 \(\hat{v}_p\)에 대한 출력 전압의 변동은 다음과 같습니다.
\[\frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{v}_p(s)}=\frac{\hat{d}(s)}{\hat{v}_p(s)}\frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{d}(s)}\]제어 전압의 변동에 대한 듀티 비의 변화가 바로 PWM 블록의 전달 함수입니다.
\[\frac{\hat{d}(s)}{\hat{v}_p(s)}=F_m\]따라서 다음과 같습니다.
\[\frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{v}_p(s)}=F_m\frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{d}(s)}\]그러므로 개루프 듀티 비-출력 전달 함수는 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} \frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{d}(s)}=\frac{1}{F_m}\frac{\hat{v}_o(s)}{\hat{v}_p(s)} \end{align*}\]따라서 연산 증폭기의 입력측 단자에 소신호를 가했을 때, 출력 전압 변동에 대해 분석한다면, 개루프 듀티 비-출력 전달 함수를 구할 수 있습니다.