컨버터는 파워 스테이지와 제어기로 구성되어 있습니다. 파워 스테이지는 제어기로부터 출력된 신호를 받아 스위칭을 하면서 전력 변환을 수행합니다. 제어기는 파워 스테이지로부터 정보를 받아서 피드백을 합니다. 이러한 컨버터는 다음의 특징이 있습니다.
먼저 컨버터는 시변적(Time-Variant)입니다. 파워 스테이지가 스위칭을 한다고 언급했습니다. 스위치가 켜진 상태와 꺼진 상태의 회로도는 다릅니다. 회로도가 시간에 의존하므로 시변성을 지닙니다.
다음으로 PWM 제어는 비선형적입니다. PWM은 제어 신호와 기준 신호의 대소 관계에 따라 스위치 구동 신호를 출력합니다. 출력이 \(0\)과 \(1\) 뿐이므로, 이산적입니다. 따라서 비선형적이라고 말할 수 있습니다.
앞서 언급한 두 특징에 의해 선형 제어론을 이용하여 컨버터를 설계할 수 없습니다. 따라서 선형 제어론을 이용할 수 있는 선형 시불변 시스템(Linear Time-Invariant System, LTI System)으로 바꿀 필요가 있습니다. 우선, 시간 의존성을 없애기 위해 동작을 스위칭 주기에 대해 평균화를 합니다. 그러면 시변성이 사라지면서 비선형 시불변 시스템이 됩니다. 그 이후에는 특정 동작점에 대해 선형화를 합니다. 동작점은 주로 최악 조건(Worst Case)으로 선정합니다. 수 없이 많은 동작점이 존재하지만, 그 동작점들에 대해 모두 모델링하는 것은 바람직하지 않습니다. 그러므로 최악 조건에 대해서만 모델링합니다. 그렇게 되면 다른 동작점에서는 자연스럽게 정상 동작을 하게 됩니다. 이런 과정을 거쳐 선형 시불변 시스템이 도출됩니다. 마지막으로 주파수 영역으로 변환을 해줍니다. 컨버터의 전달 함수를 구하여 제어기를 설계할 수 있습니다.
평균화는 그림과 같이 스위칭으로 인해 생기는 톱니 파형을 각 시각마다의 평균으로 바꾸어 매끄러운 파형으로 바꾸는 과정입니다. 평균화는 상태 공간 해석법과 회로 평균화를 통해 가능합니다.
스위치가 켜진 상태(온-타임)에서 컨버터의 상태 공간 표현식은 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}_{on}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}_{on}v_{in}(t)\\ v_o(t)=\mathbf{C}_{on}\mathbf{x}(t) \end{cases}\]\(\mathbf{x}(t),v_{in}(t),v_o(t)\)는 각각 상태 벡터, 입력 전압, 출력 전압입니다. \(\mathbf{A}_{on},\mathbf{B}_{on},\mathbf{C}_{on}\)는 각각 온-타임에서의 상태 행렬, 입력 행렬, 출력 행렬입니다.
스위치가 꺼진 상태(오프-타임)에서 컨버터의 상태 공간 표현식은 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{A}_{off}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}_{off}v_{in}(t)\\ v_o(t)=\mathbf{C}_{off}\mathbf{x}(t) \end{cases}\]\(\mathbf{A}_{off},\mathbf{B}_{off},\mathbf{C}_{off}\)는 각각 오프-타임에서의 상태 행렬, 입력 행렬, 출력 행렬입니다.
다음의 스위칭 함수를 생각해봅시다.
\[q(t)=\begin{cases} 1\ \ \ \text{(on-time)}\\ 0\ \ \ \text{(off-time)} \end{cases}\]이를 이용해서 온-타임 표현식과 오프-타임 표현식을 하나의 식으로 나타낼 수 있습니다. 온-타임 식은 \(q(t)\)의 값을 따릅니다. 오프-타임 식은 \(1-q(t)\)의 값을 따릅니다. 따라서 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\[\begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t)=\left(q(t)\mathbf{A}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{A}_{off}\right)\mathbf{x}(t)+\left(q(t)\mathbf{B}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{B}_{off}\right)v_{in}(t)\\ v_o(t)=\left(q(t)\mathbf{C}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{C}_{off}\right)\mathbf{x}(t) \end{cases}\]컨버터에서 상태 변수는 주로 인덕터 전류와 축전기 전압이 이용됩니다. 두 양은 시간 미분을 통해 각각 인덕터 전압과 축전기 전류를 표현할 수 있습니다. 시간 미분 항이 표현식에 포함돼있기 때문에 이 두 변수가 주로 이용됩니다.
다음으로 스위칭 함수를 평균화해야 합니다. 이는 다음과 같이 이동 평균(Moving Average)을 통해 구할 수 있습니다.
\[d(t)=\frac{1}{T_s}\int_{t-T_s}^tq(t')dt'\]이 식이 바로 듀티 비를 연속적으로 나타낸 함수입니다. 이 값은 그림과 같이 약간의 오차(지연)가 존재합니다.
(conti duty)
현재 시각 \(t\)에서의 듀티 비 정보를 \(T_s\)만큼의 과거로부터의 적분을 통하여 구하기 때문에 그렇습니다. 하지만 이정도 오차는 공학에서 용인되는 범위 내입니다.
다음으로 상태 공간 표현식을 평균화하면 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} \dot{\overline{\mathbf{x}}}(t)=\overline{\left(q(t)\mathbf{A}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{A}_{off}\right)\mathbf{x}(t)+\left(q(t)\mathbf{B}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{B}_{off}\right)v_{in}(t)}\\ \overline{v}_o(t)=\overline{\left(q(t)\mathbf{C}_{on}+\left(1-q(t)\right)\mathbf{C}_{off}\right)\mathbf{x}(t)} \end{cases}\]우선 평균화는 적분을 통해 수행되므로 선형적인 연산입니다. 또한 각 행렬들은 모두 상수입니다. 그리고