라커비의 공부방
직류 전동기
목차
직류 전동기
직류 전동기(DC Motor)는 직류 전력를 공급받아 동력을 생성하는 전동기입니다. 직류 전동기의 구조는 다음과 같습니다.
고정자(Stator)는 전동기 내에서 고정된 부분입니다. 고정자에는 계자(Field Magnet)가 연결되어 자기장을 형성합니다. 영구자석보다는 계자 권선(Field Winding)을 감아서 전자석의 형태로 자기장을 형성합니다. 이 계자 권선에 전류를 흘려서 외부 자기장을 형성합니다. 형성된 자기장의 자속을 계자 자속(Field Flux)라고 하며, 보통 일정하게 유지합니다. 고정자에서는 전기 에너지가 자기 에너지로 전환됩니다.
다음으로 회전자(Rotor)는 전동기 내에서 회전하는 부분입니다. 회전자에는 전기자 권선(Armature Winding)이 연결되어 있습니다. 이 전기자 권선에 전류를 흘리면 도선이 자기력을 받아 회전합니다. 회전자에서는 자기 에너지가 역학적 에너지로 전환됩니다.
권선의 단면을 통과하는 자속이 최대가 되는 순간 전류의 방향이 바뀝니다. 따라서 자기력을 반대 방향으로 받게 되고, 지속적인 회전을 할 수 없습니다. 이를 방지하기 위해 중간에 전류의 방향을 교정할 필요가 있습니다. 직류 전력을 공급하므로 전류의 방향을 입력단에서 바꿀 수는 없습니다. 그러므로 정류자(Commutator)를 이용하여 그림과 같이 자속이 최대가 되기 전후의 전류가 동일한 방향으로 흐를 수 있게 해줍니다. 정류자는 권선과 연결되어 있으며, 부분적으로 끊어져 있는 구조입니다. 그리고 외부 전원으로부터 정류자로 전류가 흐르도록 연결해주는 부품이 브러시(Brush)입니다. 이로 인해 직류 전력을 공급 받아 교류 전류를 유도할 수 있습니다.
직류 전동기는 토크와 속도를 제어하기 쉽다는 장점이 있습니다. 하지만 정류자와 브러시를 정기적으로 보수해야 하고, 고속 동작에는 적합하지 않다는 단점이 있습니다.
직류 전동기보다는 교류 전동기(AC Motor)나 BLDC 전동기(Brushless DC Motor)를 많이 사용합니다. 이들의 동작 및 설계를 위해서는 직류 전동기를 먼저 공부할 필요가 있습니다.
직류 전동기의 종류
직류 전동기는 전기자 권선과 계자 권선의 연결 방법에 따라 분류할 수 있습니다.
직권 전동기
직권(Series) 전동기는 전기자 권선과 계자 권선이 직렬로 연결된 형태입니다.
분권 전동기
분권(Shunt) 전동기는 전기자 권선과 계자 권선이 병렬로 연결된 형태입니다.
타여자 분권 전동기
타여자(Separately Excited) 분권 전동기는 전기자 권선과 계자 권선이 독립적으로 구성된 형태입니다. 현재 가장 많이 쓰이는 형태이며, 주로 타여자 분권 전동기에 대해 다룰 것입니다.
가동 복권 전동기
가동 복권(Cumulative Compound) 전동기는 형태입니다.
가동 복권 전동기
차동 복권(Differential Compound) 전동기는 형태입니다.
직류 전동기 모델링
직류 전동기의 등가 회로
직류 전동기의 동작 원리 이해 및 제어기 설계를 위해 등가 회로로 모델링할 필요가 있습니다. 전기자의 단자에 전압을 걸면 전기자 권선에 전류가 흐릅니다. 전기자 권선은 인덕턴스와 기생 저항으로 모델링할 수 있습니다. 그리고 전기자 권선이 회전하면 권선의 단면을 통과하는 자속이 계속 변합니다. 패러데이 법칙에 의해 전기자 권선에는 또 다른 전압이 유도됩니다. 이를 역기전력(Back EMF)이라고 합니다. 이를 통해 다음과 같이 등가 회로로 표현할 수 있습니다.
전기자 전류 \(i_a\)가 전기자 권선의 인덕턴스 \(L_a\)와 기생 저항 \(R_a\)를 따라 흐르며, 역기전력 \(\mathcal{E}_a\)가 유도됩니다. 각 부분에 대해 자세히 설명하겠습니다.
계자
계자는 고정자에 고정된 자석으로, 외부 자기장을 형성합니다.
보통 전자석의 형태로 만들어지며, 다음과 같이 고정자에 권선을 감아 전류를 흘려서 자기장을 형성합니다.
계자 권선을 등가 회로로 모델링하면 다음과 같습니다.
권선의 인덕턴스 \(L_f\)와 기생 저항 \(R_f\)로 모델링할 수 있습니다. 권선 양단에 전압 \(v_f\)를 인가하여 전류 \(i_f\)를 흘리면 KVL을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[v_f=R_fi_f+\dot{\Lambda}_f=R_fi_f+L_f\dot{i}_f\]이는 과도 상태까지 고려한 식이며, 정상 상태에서는 \(\dot{i}_f=0\)이므로 계자 자속이 일정합니다.
역기전력
길이가 \(l\)인 도선이 균일한 자속 밀도 \(B\)의 자기장 내에서 속도 \(v\)로 운동한다고 해봅시다.
이때 도선에 유도된 기전력은 다음과 같습니다.
\[\mathcal{E}=Blv\]이제 다음과 같이 세로 길이가 \(l\)인 직사각형의 전류 고리가 균일한 자속 밀도 \(B\)의 자기장 내에서 선속도 \(v\)로 회전한다고 해봅시다.
고리에 유도된 기전력은 이전과 같습니다.
\[\mathcal{E}=Blv\]회전축으로부터 고리의 끝 부분까지의 길이를 \(r\)이라고 하면, 각속도 \(\omega_m\)을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[\mathcal{E}=Blr\omega_m\]자속 밀도는 다음과 같이 계자 자속 \(\Phi_f\)와 도선의 단면적 \(A\)를 이용하여 나타낼 수 있습니다.
\[B=\frac{\Phi_f}{A}\]기전력은 다음과 같습니다.
\[\mathcal{E}=\frac{\Phi_f lr\omega_m}{A}\]\(A\)와 \(lr\)은 차원이 같으므로 \(\displaystyle\frac{lr}{A}\)을 상수 \(k_e\)로 나타낼 수 있습니다.
\[\mathcal{E}=k_e\Phi_f\omega_m\]상수 \(k_e\)는 기전력 상수입니다. 일반적으로 계자 자속은 일정합니다. 따라서 기전력을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[\mathcal{E}=K_e\omega_m\ \ \ \text{where }K_e=k_e\Phi_f\]\(K_T\)는 기전력 상수이며, 단위가 \(\text{V}\cdot\text{s/rad}\)입니다. 이 기전력을 역기전력이라고 하며, 전기자 단자 전압과 반대 극성으로 유도되었기 때문에 반대를 의미하는 ‘역’이 붙습니다.
토크
그림과 같이 자속 밀도 \(B\)인 균일한 자기장 내에 있는 길이가 \(l\)인 도선에 전류 \(i\)를 흘린다고 생각해봅시다.
이때 도선이 받는 자기력은 다음과 같습니다.
\[F=Bil\]이제 다음과 같이 세로 길이가 \(l\)인 직사각형의 전류 \(i_a\)가 흐르는 고리가 균일한 자속 밀도 \(B\)의 자기장 내에 있다고 해봅시다.
고리가 받는 자기력은 이전과 같습니다.
\[F=Bi_al\]회전축으로부터 고리의 끝 부분까지의 길이를 \(r\)이라고 하면, 고리에 작용하는 토크는 다음과 같습니다.
\[\tau_e=rBi_al\]자속 밀도는 다음과 같이 계자 자속 \(\Phi_f\)와 도선의 단면적 \(A\)를 이용하여 나타낼 수 있습니다.
\[B=\frac{\Phi_f}{A}\]자기력에 의한 토크는 다음과 같습니다.
\[\tau_e=\frac{r\Phi_fi_al}{A}\]\(A\)와 \(lr\)은 차원이 같으므로 \(\displaystyle\frac{lr}{A}\)을 상수 \(k_T\)으로 나타낼 수 있습니다.
\[\tau_e=k_T\Phi_fi_a\]일반적으로 계자 자속은 일정합니다. 따라서 토크를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[\tau_e=K_Ti_a\ \ \ \text{where }K_T=k_T\Phi_f\]\(K_T\)는 토크 상수이며, 단위가 \(\text{N}\cdot\text{m/A}\)입니다. SI 단위계에서는 기전력 상수와 토크 상수가 동일합니다.
회전자의 운동 방정식
이전에 언급했던 시스템의 운동 방정식은 다음과 같습니다.
\[\tau_e=I\dot{\omega}+b\omega+\tau_L\]시스템 방정식
직류 전동기의 등가 회로를 다시 살펴봅시다.
이 시스템은 다음의 방정식들로 기술할 수 있습니다.
\[\begin{cases} v_a=R_ai_a+L_a\dot{i}_a+\mathcal{E}_a\\ \mathcal{E}_a=k_e\Phi_f\omega_m\\ \tau_e=k_T\Phi_fi_a\\ \tau_e=I\dot{\omega}_m+b\omega_m+\tau_L\\ v_f=R_fi_f+L_a\dot{i}_f \end{cases}\]직류 전동기의 제어 방법
정상 상태에서의 토크와 각속도의 관계
정상 상태에서는 전류의 변화가 없습니다.
\[\dot{i}_a=\dot{i}_f=0\]이때 마찰이 없다는 가정 하에 전기자 토크와 부하 토크가 동일하다면, 각가속도 또한 \(0\)입니다.
\[\begin{align*} &\tau_e=I\dot{\omega}_m+\tau_L\ \ \ \text{since }b=0\\ &\rightarrow\dot{\omega}_m=0\ \ \ \ \text{since }\tau_e=\tau_L \end{align*}\]시스템 방정식은 다음과 같이 나타납니다.
\[\begin{cases} v_a=R_ai_a+\mathcal{E}_a\\ \mathcal{E}_a=k_e\Phi_f\omega_m\\ \tau_e=\tau_L=k_T\Phi_fi_a\\ v_f=R_fi_f\\ \Lambda_f=L_fi_f \end{cases}\]전기자 전류를 소거하고, 기전력 상수와 토크 상수가 동일한 점을 이용하면, 각속도를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[\begin{align*} &k_e=k_T=k\\ &\tau_e=\tau_L\\ &i_a=\frac{\tau_L}{k\Phi_f}\\ &\mathcal{E}_a=k\Phi_f\omega_m\\ &v_a=\frac{R_a\tau_e}{k\Phi_f}+k\Phi_f\omega_m\\ &\rightarrow\omega_m=\frac{v_a}{k\Phi_f}-\frac{R_a}{\left(k\Phi_f\right)^2}\tau_L \end{align*}\]변수가 전기자 전압과 계자 자속 뿐입니다. 따라서 정상 상태에서 각속도를 변화시키려면 전기자 전압이나 계자 자속을 변하게 해야 합니다.
전기자 전압 제어
먼저 제어 변수가 전기자 전압인 경우에 대해 생각해봅시다. 계자 자속은 이때 일정하다고 가정합니다. 따라서 각속도는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\[\omega_m=k_1v_a-k_2\tau_L\ \ \ \text{where }k_1=\frac{1}{k\Phi_f},k_2=\frac{R_a}{\left(k\Phi_f\right)^2}\]이를 3차원 공간에 그리면 다음과 같습니다.
토크가 일정한 경우, 전기자 전압이 증가하면 각속도가 증가합니다.
전기자 전압이 일정한 경우, 각속도가 증가하면 토크는 감소합니다. 전기자 전압의 변화를 함께 나타내면 다음과 같습니다.
이 그래프에 임의의 부하 곡선을 함께 나타내면 다음과 같습니다.
형성된 교점들이 전기자 전압에 따른 동작점들이고, 안정된 상태입니다. 전기자 전압이 변하는 순간 당연히 정상 상태에서 벗어나게 됩니다. 일련의 과정을 거쳐 또 다른 정상 상태에 도달하게 되고, 동작점의 변화가 이를 나타냅니다. 그 일련의 과정이 바로 과도 상태이며, 자세한 내용은 과도 상태를 다룰 때 설명하겠습니다.
전기자 전압을 변화시키기 위해 전력 변환 장치를 이용할 수 있습니다. 전력 변환 장치의 출력단에 다음과 같이 직류 전동기를 연결하면 됩니다.
이렇게 연결하면, 전력 변환 장치의 출력 전압이 정격 전압으로 제한됩니다. 이를 통해 각속도를 조정할 수 있습니다.
계자 자속 제어
전기자 전압이 일정한 경우, 계자 자속을 이용하여 각속도를 변화시킬 수 있습니다. 이때 각속도를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[\omega_m=\frac{k_1'}{\Phi_f}-\frac{k_2'}{\Phi_f^2}\tau_L\ \ \ \text{where }k_1'=\frac{v_a}{k},k_2'=\frac{R_a}{k^2}\]이를 3차원 공간에 그리면 다음과 같습니다.
토크가 일정한 경우, 계자 자속이 감소하면, 각속도가 증가합니다.
보통 동작점을 무릎 점 부근(정격 자속)에 설계하기 때문에 자속이 감소하는 경우에 대해 고려합니다. 이를 약자속(Flux Weakening)이라고 합니다.
직류 전동기의 능력 곡선
다음 그림은 속도에 따른 물리량들을 나타낸 능력 곡선(Capability Curve)입니다.
이 그래프를 해석하기 위해 다음 방정식을 다시 생각해봅시다.
\[\begin{align*} &k_e=k_T=k\\ &\tau_e=\tau_L\\ &i_a=\frac{\tau_L}{k\Phi_f}\\ &\mathcal{E}_a=k\Phi_f\omega_m\\ &v_a=\frac{R_a\tau_e}{k\Phi_f}+k\Phi_f\omega_m\\ &\rightarrow\omega_m=\frac{v_a}{k\Phi_f}-\frac{R_a}{\left(k\Phi_f\right)^2}\tau_L \end{align*}\]일정 토크 영역
먼저 저속 구간인 일정 토크 영역을 살펴봅시다. 각속도가 정격 속도보다 작은 구간입니다. 이 구간에서 계자 자속은 일정합니다. 토크가 일정하므로 전기자 전류 또한 일정합니다. 전기자 전류가 일정하게 유지되기 위해서는 각속도가 커질수록 전기자 전압 또한 커져야 합니다. 전력은 토크가 일정하나, 각속도가 증가하므로 각속도에 따라 증가합니다. 혹은 전기자 전류가 일정하나, 전기자 전압이 증가하므로 전압에 따라 증가한다고 해석해도 됩니다. 이 구간에서 전기자 전압은 전력 변환 장치에 의해 제어됩니다. 그리고 전기자 전압이 제한되고, 전기자 전류가 정격에 도달하는 속도를 기저 속도(Base Speed)라고 합니다.
일정 출력 영역
다음으로 각속도가 정격 속도보다 큰 구간을 살펴봅시다. 이 구간에서는 전기자 전압이 정격에 도달한 뒤, 계자 자속이 감소합니다. 전기자 전압이 일정하므로 각속도가 커질수록 계자 자속이 감소합니다. 이에 따라 토크 또한 감소합니다. 전기자 전류는 일정합니다. 전력은 토크가 감소하나, 각속도가 증가하므로 일정합니다. 또는 전기자 전압과 전기자 전류가 모두 일정하므로 일정하다고 해석해도 됩니다.