전력(Power)이란 단위 시간당 공급되거나 소비되는 전기 에너지를 의미합니다.
\[p=\frac{dW}{dt}\]단위는 와트[W]입니다.
위 식은 전압과 전류를 이용해 표현할 수 있습니다. 우선 전압은 단위 전하에 해주는 일입니다.
\[v=\frac{dW}{dq}\]전류는 단위 시간당 어느 단면을 통과하는 전하의 총량입니다.
\[i=\frac{dq}{dt}\]연쇄 법칙을 이용하면 다음과 같습니다.
\[p=\frac{dW}{dt}=\frac{dW}{dq}\frac{dq}{dt}=vi\]따라서 전력은 전압과 전류의 곱으로 표현되는 것을 알 수 있습니다.
옴의 법칙을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.
\[\begin{align*} &v=iR\\ &p=vi=i^2R\\ &\text{or}\\ &p=vi=\frac{v^2}{R} \end{align*}\]실제로 발전소에서 공급되는 전력을 살펴보면, 전압과 전류의 위상이 일반적으로 다릅니다.
다음의 사인형 전압과 전류를 생각해봅시다.
\[\begin{align*} &v(t)=V_m\cos\left(\omega t+\theta_v\right)\\ &i(t)=I_m\cos\left(\omega t+\theta_i\right) \end{align*}\]계산상의 편의를 위해 \(\theta_i\)만큼 평행 이동 시켜봅시다.
\[\begin{align*} &v(t)=V_m\cos\left(\omega t+\theta_v-\theta_i\right)\\ &i(t)=I_m\cos\left(\omega t\right) \end{align*}\]위상차를 \(\theta=\theta_v-\theta_i\)라고 하고, 전력을 구하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &p(t)=v(t)i(t)=V_mI_m\cos\left(\omega t+\theta\right)\cos\left(\omega t\right)\\ \end{align*}\]다음의 삼각 함수 공식을 이용하여 전개해봅시다.
\[\begin{align*} &\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\cos\left(\alpha-\beta\right)+\frac{1}{2}\cos\left(\alpha+\beta\right)\\ &p(t)=\frac{V_mI_m}{2}\cos\theta+\frac{V_mI_m}{2}\cos\left(2\omega t+\theta\right) \end{align*}\]두번째 항을 다음의 삼각 함수 공식을 이용하여 전개해봅시다.
\[\begin{align*} &\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\ &p(t)=\frac{V_mI_m}{2}\cos\theta+\frac{V_mI_m}{2}\left(\cos\theta\cos\left(2\omega t\right)-\sin\theta\sin\left(2\omega t\right)\right) \end{align*}\]코사인과 사인으로 각각 묶으면 다음과 같습니다.
\[p(t)=\frac{V_mI_m}{2}\cos\theta\left(1+\cos\left(2\omega t\right)\right)-\frac{V_mI_m}{2}\sin\theta\sin\left(2\omega t\right)\]이 양을 통해 특정 시각에서의 전력을 확인할 수 있고, 이를 순시 전력(Instantaneous Power)이라고 합니다.
순시 전력을 다시 살펴봅시다.
\[p(t)=\frac{V_mI_m}{2}\cos\theta\left(1+\cos\left(2\omega t\right)\right)-\frac{V_mI_m}{2}\sin\theta\sin\left(2\omega t\right)\]순시 전력의 평균을 구하면 다음과 같습니다.
\[P=\frac{1}{T}\int_T p(t)dt=\frac{V_mI_m}{2}\cos\theta\]삼각 함수 항의 평균은 \(0\)이므로 위와 같습니다. 이 양을 유효 전력(Real Power)이라고 합니다. 실제로 부하로 공급되는 전력을 의미합니다. 다른 형태의 에너지로 전환될 수 있는 양입니다. 평균 전력(Average Power)이라고도 합니다.
위 식을 다시 살펴봅시다.
\[p(t)=\frac{V_mI_m}{2}\cos\theta\left(1+\cos\left(2\omega t\right)\right)-\frac{V_mI_m}{2}\sin\theta\sin\left(2\omega t\right)\]유효 전력을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[p(t)=P\left(1+\cos\left(2\omega t\right)\right)-\frac{V_mI_m}{2}\sin\theta\sin\left(2\omega t\right)\]두번째 항은 존재는 하지만, 평균이 \(0\)이므로 부하에 전달되는 전력이 없습니다. 주파수 항을 제외한 나머지 부분을 무효 전력(Reactive Power)이라고 합니다.
\[Q=\frac{V_mI_m}{2}\sin\theta\]단위는 [VAR]입니다. 이 양은 부하에 전달되지 않고, 회로 내에서 전원과 에너지 저장 소자(인덕터, 축전기) 사이에서 계속 순환하는 양입니다.
유효 전력과 무효 전력을 이용하면 순시 전력을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[p(t)=P\left(1+\cos\left(2\omega t\right)\right)-Q\sin\left(2\omega t\right)\]앞서 살펴본 유효 전력과 무효 전력은 각각 다음 피상 전력(Apparent Power)의 실수 부분과 허수 부분입니다.
\[S=P+jQ\]또는 복소 전력(Complex Power)이라고도 합니다. 단위는 [VA]입니다.
피상 전력을 앞서 구한 유효 전력과 무효 전력을 이용하여 표현하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} S&=P+jQ\\ &=\frac{V_mI_m}{2}\cos\theta+j\frac{V_mI_m}{2}\sin\theta\\ &=\frac{V_mI_m}{2}e^{j\theta} \end{align*}\]앞서 가정한 전압 및 전류는 다음과 같이 위상자로 표현할 수 있습니다.
\[\begin{align*} &\mathbf{V}=V_m\angle\theta_v\\ &\mathbf{I}=I_m\angle\theta_i \end{align*}\]전압 위상자에 전류 위상자의 켤레를 곱한 뒤, \(2\)로 나누면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} \frac{1}{2}\mathbf{V}\mathbf{I}^*=\frac{1}{2}V_mI_m\angle\left(\theta_v-\theta_i\right) \end{align*}\]앞서 위상차를 \(\theta=\theta_v-\theta_i\)로 두었으므로, 피상 전력을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[S=\frac{1}{2}\mathbf{V}\mathbf{I}^*\]피상 전력은 주파수 항이 없기 때문에 위상자가 아닙니다.
위상자로 표현한 옴의 법칙을 떠올려봅시다.
\[\mathbf{V}=Z\mathbf{I}\]전압을 피상 전력 식에 대입하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} S&=\frac{1}{2}Z\mathbf{I}\mathbf{I}^*\\ &=\frac{1}{2}I_m^2Z \end{align*}\]전류의 진폭과 임피던스로 표현될 수 있습니다.
다음으로 전류를 피상 전력 식에 대입해봅시다.
\[\begin{align*} S&=\frac{1}{2}\mathbf{V}\frac{\mathbf{V}^*}{Z^*}\\ &=\frac{V_m^2}{2Z^*} \end{align*}\]실제 발전소에서 보내는 전력을 모두 사용할 수 있는 것은 아닙니다. 발전소에서 \(S\)만큼의 전력을 송전할 때, 우리는 \(P\)만큼의 전력만 사용할 수 있습니다. 피상 전력의 크기에 대한 유효 전력의 비를 역률(Power Factor, PF)이라고 합니다.
\[\text{(PF)}=\frac{P}{\left|S\right|}\]실제로 우리가 사용할 수 있는 전력이 어느 정도인지 나타내는 값입니다.
앞서 가정한 사인파 전압 및 전류에 대해서는 다음의 관계가 성립합니다.
\[\begin{align*} &\left|S\right|=\frac{V_mI_m}{2}\\ &P=\frac{V_mI_m}{2}\cos\theta\\ &\rightarrow \text{(PF)}=\frac{\frac{V_mI_m}{2}\cos\theta}{\frac{V_mI_m}{2}}=\cos\theta \end{align*}\]위상차가 양수인 경우는 전류의 위상이 전압의 위상보다 늦습니다. 이런 경우에 대해 역률을 지상 역률(Lagging PF)이라고 합니다. 유도성 부하가 이에 해당됩니다.
위상차가 음수인 경우는 전류의 위상이 전압의 위상보다 빠릅니다. 이런 경우에 대해 역률을 진상 역률(Leading PF)이라고 합니다. 용량성 부하가 이에 해당됩니다.
테브난 정리에 따라 회로를 다음과 같이 변환할 수 있습니다. 이 상황에서 부하로 전달되는 전력이 최대가 되려면 어떤 조건이 필요한지 알아봅시다.
먼저 저항으로만 구성된 부하에 대한 상황입니다. 전원의 전압을 사인파 전압이라고 가정해봅시다.
\[\mathbf{V}=V_m\angle\theta\]부하에 걸리는 전압은 전압 분배에 의해 다음과 같습니다.
\[\mathbf{V}_L=\frac{R_L}{R_{Th}+R_L}\mathbf{V}\]부하에 흐르는 전류는 다음과 같습니다.
\[\mathbf{I}_L=\frac{\mathbf{V}_L}{R_{Th}+R_L}\]부하로 전달되는 피상 전력은 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} S_L&=\frac{1}{2}\mathbf{V}_L\mathbf{I}_L^*\\ &=\frac{1}{2}\frac{R_L}{R_{Th}+R_L}\mathbf{V}_L\frac{\mathbf{V}_L^*}{R_{Th}+R_L}\\ &=\frac{V_m^2R_L}{2\left(R_{Th}+R_L\right)^2} \end{align*}\]이 양은 실수이므로 유효 전력과 같습니다.
\[P_L=\frac{V_m^2R_L}{2\left(R_{Th}+R_L\right)^2}\]이 식이 바로 부하로 전달되는 전력입니다. 이 식이 언제 최소가 되는지 알아내기 위해 양 변을 부하 저항에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
\[\frac{dP_L}{dR_L} = \frac{V_m^2 \left(R_{Th} - R_L\right)}{2 \left(R_{Th} + R_L\right)^3}\]이 식이 \(0\)인 조건은 다음과 같습니다.
\[\frac{dP_L}{dR_L}=0\ \ \ \text{if }\ R_L=R_{Th}\]따라서 회로의 테브난 등가 저항과 부하 저항이 같을 때, 부하로 전달되는 전력이 최대가 되는 것을 알 수 있습니다. 이때 전달되는 전력은 다음과 같습니다.
\[P_{max}=\frac{V_m^2}{8R_L}\]다음으로 일반적인 임피던스 부하에 대해 살펴봅시다. 부하에 걸리는 전압은 다음과 같습니다.
\[\mathbf{V}_L=\frac{R_L+jX_L}{R_{Th}+R_L+j\left(X_{Th}+X_L\right)}\mathbf{V}\]부하에 흐르는 전류는 다음과 같습니다.
\[\mathbf{I}_L=\frac{\mathbf{V}}{R_{Th}+R_L+j\left(X_{Th}+X_L\right)}\]부하로 전달되는 피상 전력은 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} S_L&=\frac{1}{2}\mathbf{V}_L\mathbf{I}_L^*\\ &=\frac{1}{2}\frac{R_L+jX_L}{R_{Th}+R_L+j\left(X_{Th}+X_L\right)}\mathbf{V}\frac{\mathbf{V}^*}{R_{Th}+R_L-j\left(X_{Th}+X_L\right)}\\ &=\frac{V_m^2\left(R_L+jX_L\right)}{2\left(\left(R_{Th}+R_L\right)^2+\left(X_{Th}+X_L\right)^2\right)} \end{align*}\]이 식에서 유효 전력은 다음과 같습니다.
\[P=\frac{V_m^2R_L}{2\left(\left(R_{Th}+R_L\right)^2+\left(X_{Th}+X_L\right)^2\right)}\]이 식에 언제 최소가 되는지 알아보기 위해 부하 저항 및 부하 리액턴스에 대해 각각 편미분하면 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} \frac{\partial P_L}{\partial R_L} = \frac{V_m^2 \left(\left(R_{Th} + R_L\right)^2 + \left(X_{Th} + X_L\right)^2 - 2R_L(R_{Th} + R_L) \right)}{2\left(\left(R_{Th} + R_L\right)^2 + \left(X_{Th} + X_L\right)^2\right)^2}\\ \frac{\partial P_L}{\partial X_L} = \frac{-V_m^2 R_L (X_{Th} + X_L)}{\left(\left(R_{Th} + R_L\right)^2 + \left(X_{Th} + X_L\right)^2\right)^2} \end{cases}\]각 식이 \(0\)이 될 조건은 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} R_L=\sqrt{R_{Th}^2+\left(X_{Th}+X_L\right)^2}\\ X_L=-X_{Th} \end{cases}\]두 조건을 종합하여 정리하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &R_L=R_{Th}\ \ \ \text{since }X_L=-X_{Th}\\ &\rightarrow Z_L=Z_{Th}^* \end{align*}\]일반적인 임피던스 부하에 대해서는 부하 임피던스를 등가 임피던스의 켤레 값으로 조정하면 부하에 전달되는 전력이 최대가 되는 것을 알 수 있습니다. 이때 전달되는 전력은 다음과 같습니다.
\[P_{max}=\frac{V_m^2}{8R_L}\]제약 조건에 의해 부하 임피던스를 우리가 원하는 값으로 맞추지 못하는 경우가 있습니다.
(1) 부하 저항 및 리액턴스의 범위가 제한된 경우
이런 경우는 우선, \(X_L\)를 \(-X_{Th}\)에 최대한 가깝게 조정합니다. 이후에 \(R_L\)을 \(\sqrt{R_{Th}^2+\left(X_{Th}+X_L\right)^2}\)에 최대한 가깝게 조정합니다.
(2) 부하 임피던스의 위상을 바꿀 수 없는 경우 임피던스를 극형식으로 나타내면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} Z_L&=R_L+jX_L\\ &=\sqrt{R_L^2+X_L^2}\exp\left(j\tan^{-1}\left(\frac{X_L}{R_L}\right)\right) \end{align*}\]크기\(\left(\sqrt{R_L^2+X_L^2}\right)\)는 조정 가능하고, 비율\(\left(\frac{X_L}{R_L}\right)\)은 고정된 경우입니다. 이 경우는 \(\left|Z_L\right|\)을 \(\left|Z_{Th}\right|\)와 같도록 조정합니다.
이러한 튜닝 과정을 일반적으로 임피던스 정합이라고 합니다. 부하로 전달되는 전력을 최대화하는 것이 목적입니다. 자세한 내용은 해당 문서 참고 바랍니다.