삼각 함수끼리의 연산은 비교적 복잡합니다. 지수 함수로 바꿀 수 있다면 연산이 더 편리해집니다. 이는 오일러 공식(Euler’s Formula)을 이용하면 됩니다. 오일러 공식은 지수 함수와 삼각 함수 사이의 관계식을 나타냅니다.
\[e^{jx}=\cos x+j\sin x\]\(e^x\)의 테일러 전개는 다음과 같습니다.
\[e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\]이 식에서 \(x\)대신 \(jx\)를 대입하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} e^{jx}&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(j x\right)^k}{k!}\\ &=\frac{1}{0!}+\frac{jx}{1!}+\frac{-x^2}{2!}+\frac{-jx^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{jx^5}{5!}\cdots\\ &=\left(\frac{1}{0!}+\frac{-x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\right)+\left(\frac{jx}{1!}+\frac{-jx^3}{3!}+\frac{jx^5}{5!}+\cdots\right)\\ &=\left(\frac{1}{0!}+\frac{-x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\right)+j\left(\frac{x}{1!}+\frac{-x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k x^{2k}}{\left(2k\right)!}+j\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}\\ &=\cos x+j\sin x\\ \end{align*}\] \[\begin{align*} \rightarrow e^{jx}=\cos x+j\sin x \end{align*}\]앞서 살펴본 오일러 공식에서 \(e^{jx}\)의 실수 부분과 허수 부분은 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &\text{Re}\left[e^{jx}\right]=\cos x\\ &\text{Im}\left[e^{jx}\right]=\sin x \end{align*}\]여기서 우리는 한 가지를 선택할 수 있습니다. 어느 것을 선택해도 좋습니다. 보통은 실수 부분인 코사인 함수를 선택합니다. 저는 사인형 변수의 기본형을 코사인으로 기술할 것이기 때문에 실수 부분을 선택하겠습니다. 다음과 같은 사인형 변수를 생각해봅시다.
\[x(t)=X_m\cos\left(\omega t+\theta_x\right)\]이는 다음 식의 실수 부분입니다.
\[x(t)=\text{Re}\left[X_me^{j\left(\omega t+\theta_x\right)}\right]\ \ \ \text{(}X_m\text{ 은 실수라고 가정)}\]괄호 속 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[X_me^{j\left(\omega t+\theta_x\right)}=X_me^{j\omega t}e^{j\theta_x}\]\(e^{j\omega t}\)는 주파수를 나타내고, \(e^{j\theta_x}\)은 위상을 나타냅니다. 주파수는 전원에서 바꾸지 않는 이상 회로 내부의 동작으로는 변하지 않습니다. 따라서 우리는 진폭과 위상에 대한 정보만 알면 됩니다. 위상자(Phasor)를 다음과 같이 정의합니다.
\[\begin{align*} \mathbf{X}&=X_me^{j\theta_x}\\ &=X_m\angle\theta_x \end{align*}\]표기법은 둘 중 편한 것으로 사용하시면 됩니다. 이는 다음의 위상자 변환(Phasor Transform)을 통해 도출되는 양입니다.
\[\mathbf{X}=\mathcal{P}\left[X_m\cos\left(\omega t+\theta_x\right)\right]\]위상자 변환은 시간 영역에서 주파수 영역으로의 변환이라고 볼 수 있습니다. 이를 다시 시간 영역으로 변환하려면 위상자 역변환(Inverse Phasor Transform)을 이용하면 됩니다.
\[\mathcal{P}^{-1}\left[\mathbf{X}\right]=X_m\cos\left(\omega t+\theta_x\right)\]위상자 표현은 주파수가 일정한 상황에서만 사용할 수 있습니다. 따라서 정상 상태에서만 이용할 수 있고, 주파수가 변하기도 하는 과도 응답 상태에서는 사용할 수 없습니다.
위상자는 진폭과 위상을 가지는 복소 물리량입니다. 이는 복소 평면에서 다음과 같이 벡터로 나타낼 수 있습니다.
\[\mathbf{X}=X_m\angle\theta_x\](PhasorDiagram)
실수 부분의 크기는 진폭에 코사인을 취하면 되고, 허수 부분의 크기는 진폭에 사인을 취하면 됩니다.
위상자의 연산에 대해서 소개하겠습니다. 지수 함수와 삼각 함수 기반이고, 벡터로 표현할 수 있으니 연관 지어 생각하시면 됩니다.
밑이 같은 두 지수 함수의 곱셈의 결과를 떠올려 봅시다. 진폭은 곱해지고, 지수 부분은 더해집니다. 위상자 또한 동일합니다.
\[\begin{align*} &\mathbf{X}=X_m\angle\theta_x\\ &\mathbf{Y}=Y_m\angle\theta_y\\ &\mathbf{X}\mathbf{Y}=X_mY_m\angle\left(\theta_x+\theta_y\right) \end{align*}\]밑이 같은 두 지수 함수의 나눗셈의 결과를 떠올려 봅시다. 진폭은 나눠지고, 지수 부분은 빼집니다. 위상자 또한 동일합니다.
\[\begin{align*} &\mathbf{X}=X_m\angle\theta_x\\ &\mathbf{Y}=Y_m\angle\theta_y\\ &\frac{\mathbf{X}}{\mathbf{Y}}=\frac{X_m}{Y_m}\angle\left(\theta_x-\theta_y\right) \end{align*}\]다음으로 시간 미분입니다. 우선 주파수 부분까지 고려해서 표기를 해봅시다.
\[x(t)=X_me^{j\omega t}e^{j\theta_x}\]양 변을 시간으로 미분하면 다음과 같습니다.
\[\dot{x}(t)=j\omega X_me^{j\omega t}e^{j\theta_x}\]위상자 표기법을 이용하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} \dot{\mathbf{X}}&=j\omega X_me^{j\theta_x}\\ &=j\omega X_m\angle\theta_x \end{align*}\] \[\rightarrow \dot{\mathbf{X}}=j\omega\mathbf{X}\]\(j\omega\)를 원래의 위상자에 곱한 값이 바로 시간 미분입니다.
다음으로 시간 적분입니다. 이 또한 주파수 부분까지 고려해서 표기를 해봅시다.
\[x(t)=X_me^{j\omega t}e^{j\theta_x}\]양 변을 구간 \((-\infty,t]\)에서 적분하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} \int_{-\infty}^t x(t')dt'&=\int_{-\infty}^tX_me^{j\omega t'}e^{j\theta_x}dt'\\ &=\left[\frac{X_me^{j\omega t'}e^{j\theta_x}}{j\omega}\right]_{-\infty}^t\\ &=\frac{X_me^{j\omega t}e^{j\theta_x}}{j\omega} \end{align*}\]위상자 표기법을 이용하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} \int_{-\infty}^t \mathbf{X}dt'&=\frac{X_me^{j\theta_x}}{j\omega}\\ &=\frac{X_m\angle\theta_x}{j\omega} \end{align*}\] \[\rightarrow\int_{-\infty}^t \mathbf{X}dt'=\frac{\mathbf{X}}{j\omega}\]\(j\omega\)를 원래의 위상자에 나눈 값이 바로 시간 적분입니다.