체(Field, \(\mathbb{F}\))란 교환성, 결합성, 항등원, 역원, 분배성을 만족하는 곱셈과 덧셈을 가진 집합입니다. 물리학에서는 주로 실수(\(\mathbb{R}\))나 복소수(\(\mathbb{C}\))가 스칼라의 체로 쓰입니다.
만약 다음의 연산
\[\begin{gather*} +:V\times V\rightarrow V,\ \ \ \cdot:\mathbb{F}\times V\rightarrow V \end{gather*}\]이 존재하고, 다음의 벡터 공간에 대한 공리
\[\begin{align*} &\text{1. }\forall u,v,w \in V:\left(u+v\right)+w=u+\left(v+w\right)\\ &\text{2. }\forall u,v\in V:u+v=v+u\\ &\text{3. }\exists0\in V:v+0=v\ \forall v\in V\\ &\text{4. }\forall v\in V,\exists-v\in V:v+\left(-v\right)=0\\ &\text{5. }\forall\alpha,\beta\in\mathbb{F},\forall v\in V:\left(\alpha\beta\right)v=\alpha\left(\beta v\right)\\ &\text{6. }1\cdot v=v\\ &\text{7. }\forall\alpha,\beta\in \mathbb{F},\forall v\in V:\left(\alpha+\beta\right)v=\alpha v+\beta v\\ &\text{8. }\forall\alpha\in\mathbb{F},\forall u,v\in V:\alpha\left(u+v\right)=\alpha u+\alpha v \end{align*}\]를 만족하는 집합 \(V\)를 벡터 공간(Vector Space)이라고 합니다. 대표적으로 \(\mathbb{R}^3\)과 같은 3차원 공간이 있습니다.
집합 \(V\)의 부분 집합 \(W\)이 \(V\)와 같이 벡터 공간이라면, \(W\)를 부분 공간(Subspace)이라고 합니다. 부분 공간 또한 덧셈과 스칼라 곱에 대해 닫혀있습니다.
스칼라 \(\alpha_i\in\mathbb{F}\)에 대한 벡터 \(v_i\in V\)의 선형 결합(Linear Combination)은 다음과 같이 표현됩니다.
\[\begin{align*} \left(\text{Linear Combination}\right)=\sum_{i=1}^k\alpha_iv_i=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\cdots+\alpha_kv_k \end{align*}\]