체 \(\mathbb{F}\) 위의 유한 차원 벡터 공간 \(V\)에 대해 다음의 선형 연산자 \(T\)를 생각해봅시다.
\[T:V\rightarrow V\]영벡터가 아닌 벡터 \(v\in V\)에 대해
\[T(v)=\lambda v\]를 만족하는 스칼라 \(\lambda\in\mathbb{F}\)가 존재한다면, \(v\)는 선형 연산자 \(T\)의 고유 벡터(Eigenvector)라 하고, 이때 스칼라 \(\lambda\)를 선형 연산자 \(T\)의 고윳값(Eigenvalue)이라고 합니다. 기하학적으로, \(v\)는 선형 연산자 \(T\)에 의해 \(\lambda\)배 만큼 늘거나 줄었습니다.
실공간에서의 벡터와 행렬의 관점에서 생각해봅시다. 일반적으로 어떤 벡터에 행렬이 곱해지면, 그 벡터의 방향은 바뀝니다. 하지만 방향을 바꾸지 않는 행렬도 존재합니다. 그 벡터의 크기만 바꿀 뿐이죠. 이때 그 벡터를 해당 행렬의 고유 벡터라고 하고, 변화한 비율을 고윳값이라고 합니다.