체 \(\mathbb{F}\) 위의 \(n\)차원 벡터 공간 \(V\)에 대해 다음의 선형 변환 \(A\)를 생각해봅시다.
\[A:V\rightarrow V\]행렬 형태로는, \(A\)는 \(n\times n\) 행렬입니다. 행렬식(Determinant)이란 다음의 특성을 따르는 \(A\)에 관련된 스칼라입니다.
\[\begin{align*} &\text{1. }\text{det}(\mathbf{I})=1\\ &\text{2. }\text{det}(\mathbf{AB})=\text{det}(\mathbf{A})\text{det}(\mathbf{B})\\ &\text{3. Determinant is a multilinear function in the rows (or columns) of the matrix.}\\ &\text{4. Swapping any two rows (or columns) of the matrix multiplies the determinant by }-1. \end{align*}\]행렬식이 \(0\)이 아니라면, 그 행렬은 역행렬이 존재합니다.
실공간에서 행렬식은 그 행렬의 열벡터가 이루는 평행육면체의 부피와 같습니다.