쌍선형 형식(Bilinear Form)이란 체 \(\mathbb{F}\)위의 벡터 공간 \(V\)에 대해 다음의 사상
\[\begin{align*} B:V\times V\rightarrow\mathbb{F} \end{align*}\]이 \(V\)의 임의의 벡터 \(u,v,w\)와 \(\mathbb{F}\)의 임의의 원소 \(\alpha,\beta\)에 대해
\[\begin{gather*} B(\alpha u+\beta v,w)=\alpha B(u,w)+\beta B(v,w)\\ \text{and}\\ B(u,\alpha v+\beta w)=\alpha B(u,v)+\beta B(u,w) \end{gather*}\]을 만족하는 사상입니다. 쉽게 말하면, 각 벡터에 대해 각각 선형성을 지닌 사상입니다. 다음과 같이 실수를 체로 갖는 벡터 공간의 두 벡터의 내적은 쌍선형 형식이 될 수 있습니다.
\[\begin{align*} \langle \alpha u+\beta v,w \rangle=\alpha\langle u,v\rangle+\beta\langle v,w\rangle \end{align*}\]복소수를 체로 갖는다면 쌍선형 형식이 될 수 없습니다.
\(n\)차원 벡터 공간 \(V\)이 \(\left\{\hat{e}_i\right\}\)를 기저로 갖는다고 해봅시다. 모든 쌍선형 형식 \(B\)는 다음과 같이 \(n\times n\) 행렬 \(\mathbf{M}\)으로 나타낼 수 있습니다.
\[B(x,y)=\mathbf{x}^T\mathbf{M}\mathbf{y}=\begin{bmatrix} x_1&\cdots&x_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} M_{11}&\cdots&M_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ M_{n1}&\cdots&M_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}\]여기서 \(\mathbf{x},\mathbf{y}\)는 \(V\)의 원소 \(x,y\)의 열벡터 표현입니다.
쌍선형 형식 \(B\)가 다음을 만족하면 대칭적(Symmetric)이라고 말합니다.
\[B(u,v)=B(v,u)\]행렬로 표현하면 다음과 같습니다.
\[\mathbf{M}=\mathbf{M}^T\]다음을 만족하면 반대칭적(Skew-Symmetric)이라고 말합니다.
\[B(u,v)=-B(v,u)\]행렬로 표현하면 다음과 같습니다.
\[\mathbf{M}=-\mathbf{M}^T\]다음과 같이 \(\mathbb{R}^n\)에서 정의된 내적은 대칭 쌍선형 형식입니다.
\[\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=\mathbf{y}\cdot\mathbf{x}\]\(2\times2\) 행렬의 행렬식은 면적을 의미합니다.
\[B(\mathbf{x},\mathbf{y})=\begin{vmatrix} x_1&y_1\\ x_2&y_2 \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1\]두 벡터의 위치를 바꾸면 다음과 같습니다.
\[B(\mathbf{y},\mathbf{x})=\begin{vmatrix} y_1&x_1\\ y_2&x_2 \end{vmatrix}=y_1x_2-y_2x_1=-\left(x_1y_2-x_2y_1\right)=-B(\mathbf{x},\mathbf{y})\]따라서 이는 반대칭 쌍선형 형식임을 알 수 있습니다.
일반 상대성 이론에서 등장하는 계량 텐서(Metric Tensor) \(g_{\mu\nu}\)는 공간을 기술할 때 쓰입니다. 이 또한 쌍선형 형식입니다.