벨(B, bel)은 기준 전력에 대한 전력 비의 상용로그 값입니다.
\[L_B=\log\left(\frac{p}{p_0}\right)\ \text{[B]}\]전력이 기준치 대비 \(n\text{ B}\)만큼 상승하면 \(10^n\)배 만큼 상승했다는 의미입니다. 이는 사용하기에는 매우 큰 단위입니다.
벨을 대체할 다른 단위가 있습니다. 바로 데시벨(dB, decibel)입니다. 벨에 \(1/10\)을 의미하는 접두어 데시(deci)가 붙어서 벨에 비해 작은 단위입니다.
\[L_{dB}=10\log\left(\frac{p}{p_0}\right)\ \text{[dB]}\]전력이 기준치 대비 \(n\text{ dB}\)만큼 상승하면 \(10^{n/10}\)배 만큼 상승했다는 의미입니다.
전력은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\[p=vi=\frac{v^2}{R}=i^2R\]먼저 전압만을 이용해 데시벨을 표현하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} L_{dB}&=10\log\left(\frac{v^2/R}{v_0^2/R}\right)\\ &=10\log\left(\frac{v^2}{v_0^2}\right)\\ &=20\log\left(\frac{v}{v_0}\right) \end{align*}\]전압 비로 나타내면 계수가 \(20\)이 되는 것을 알 수 있습니다. 다음으로 전류만을 이용해 데시벨을 표현하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} L_{dB}&=10\log\left(\frac{i^2R}{i_0^2R}\right)\\ &=10\log\left(\frac{i^2}{i_0^2}\right)\\ &=20\log\left(\frac{i}{i_0}\right) \end{align*}\]전압 비와 마찬가지로 전류 비로 나타낸 데시벨 또한 계수가 \(20\)이 되는 것을 알 수 있습니다. 우리는 주로 전압 비나 전류 비를 이용할 것이기 때문에 계수가 \(20\)인 데시벨을 이용할 것입니다.
보드 선도(Bode Plot)는 전달 함수의 크기와 위상을 주파수 값에 따라 그래프로 나타낸 것입니다. 시스템의 주파수 응답을 분석할 때 유용하게 이용됩니다.
(Bode Plot)
예시로 보여드린 보드 선도는 언뜻 보면 복잡해 보입니다. 이 보드 선도를 전달 함수를 통해 손으로 직접 그리는 방법 또한 있습니다. 바로 점근적 근사(Asymptotic Approximation)를 통해 그리는 것입니다. 시스템의 세세한 변화는 무시하고, 특정 주파수들을 중심으로 시스템의 응답이 어떻게 변화하는지 어림잡아 그리는 방법입니다. 몇 가지 가정 하에서는 정확한 보드 선도와 비교할 때, 오차가 매우 적습니다.
앞서 보드 선도를 특정 주파수를 중심으로 어림잡아 그린다고 했습니다. 그 특정 주파수가 바로 차단 주파수(Cut-Off Frequency) 혹은 코너 주파수(Corner Frequency)라고 합니다. 이는 전력이 기준 전력 대비 절반이 되는 주파수 값입니다.
\[\begin{align*} L_{dB}&=10\log\left(\frac{p}{p_0}\right)\\ &=10\log\left(\frac{0.5p_0}{p_0}\right)\\ &=10\log0.5\\ &\approx-3\ \text{dB} \end{align*}\]약 \(-3\ \text{dB}\)만큼 값이 낮아집니다. 계수가 \(20\)인 데시벨 스케일로 표현하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} L_{dB}&=10\log0.5\\ &=20\log\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}\]이와 같이 차단 주파수는 전달 함수의 크기가 \(1/\sqrt{2}\)배가 될 때의 주파수이기도 합니다. 하지만 점근적 근사에서는 이를 무시합니다. 차단 주파수 전후로만 어떻게 변하는지 그립니다.
다음의 전달 함수를 살펴봅시다.
\[T(s)=\frac{K\displaystyle\prod_k\left(s+z_k\right)\displaystyle\prod_k\left(s^2+a_ks+b_k\right)\cdots}{\displaystyle\prod_k\left(s+p_k\right)\displaystyle\prod_k\left(s^2+c_ks+d_k\right)\cdots}\]일반적인 전달 함수는 이와 같이 1차, 2차 및 그 이상 차수에 대한 식으로 인수분해되어 나타낼 수 있습니다. 보드 선도는 주파수에 대한 응답을 분석하는 것이 목적이므로 다음과 같이 \(s=j\omega\)를 대입하여 그립니다.
\[T(j\omega)=\frac{K\displaystyle\prod_k\left(j\omega+z_k\right)\displaystyle\prod_k\left(-\omega^2+ja_k\omega+b_k\right)\cdots}{\displaystyle\prod_k\left(j\omega+p_k\right)\displaystyle\prod_k\left(-\omega^2+jc_k\omega+d_k\right)\cdots}\]하지만 이렇게 곱으로 나타낸 식은 그리기 어렵습니다. 곱으로 된 식을 합으로 표현하는 방법이 있습니다. 바로 다음과 같이 로그를 취하는 것입니다.
\[\begin{align*} \log\left\vert T(j\omega)\right\vert=&\ \log \left\vert K\right\vert+\sum_k\log\left\vert j\omega+z_k\right\vert+\sum_k\log\left\vert \frac{1}{j\omega+p_k}\right\vert\\ &+\sum_k\log\left\vert-\omega^2+ja_k\omega+b_k\right\vert+\sum_k\log\left\vert\frac{1}{-\omega^2+jc_k\omega+d_k}\right\vert+\cdots \end{align*}\]이 식에 이전에 언급했듯이 \(20\)을 곱하면 데시벨 스케일로 볼 수 있습니다.
\[\begin{align*} 20\log\left\vert T(j\omega)\right\vert=&\ 20\log \left\vert K\right\vert+\sum_k20\log\left\vert j\omega+z_k\right\vert+\sum_k20\log\left\vert \frac{1}{j\omega+p_k}\right\vert\\ &+\sum_k20\log\left\vert-\omega^2+ja_k\omega+b_k\right\vert+\sum_k20\log\left\vert\frac{1}{ -\omega^2+jc_k\omega+d_k}\right\vert+\cdots \ \text{[dB]} \end{align*}\]이제 각 항에 대해 그래프를 그린 뒤, 모두 더하면 원래 전달 함수의 크기에 대한 정보를 얻을 수 있습니다.
세로 축(크기)은 로그(데시벨)로 표현되었습니다. 가로 축은 주파수를 그대로 씁니다. 하지만 기존과 같이 선형적으로 증가하는 스케일을 쓰면 그래프를 직선으로 그릴 수 없습니다. 주파수에도 로그를 취했기 때문입니다. 따라서 일정한 간격마다 \(10\)(상용로그의 밑)배씩 증가하는 스케일을 써야 합니다. \(10\)배를 \(\text{[dec]}\)으로 표현하고 \(\text{[dB/dec]}\)를 기울기에서 단위로 활용합니다.
점근적 근사를 활용할 때, 직선의 방정식을 이용하는 경우가 있습니다. 다음과 같은 직선을 생각해봅시다.
\[20\log M=a\log\omega+b\](line)
이 직선의 기울기가 \(20n\ \text{dB/dec}\)이고, 교차 주파수가 \(\omega_c\)라고 해봅시다. 교차 주파수를 이용하면 \(a\)와 \(b\)의 관계식이 다음과 같이 나타납니다.
\[\begin{align*} &0=a\log\omega_c+b\\ &b=-a\log\omega_c\\ &20\log M=a\log\omega-a\log\omega_c=a\log\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right) \end{align*}\]주파수가 \(10\)배 늘면 기울기 조건에 의해 크기가 \(20n\ \text{dB}\)만큼 늘어야하므로 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &20\log M_0=a\log\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\\ &20\log M'=a\log\left(\frac{10\omega}{\omega_c}\right)=a+a\log\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)=a\log\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)+20n\\ &a=20n \end{align*}\]따라서 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
\[20\log M=20n\log\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\]이제 이 직선이 다음과 같이 두 점 \(\left(\omega_1,20\log M_1\right),\left(\omega_2,20\log M_2\right)\)를 지난다고 해봅시다.
(line)
두 지점간 크기의 차이는 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &20\log M_1=20n\log\left(\frac{\omega_1}{\omega_c}\right)\\ &20\log M_2=20n\log\left(\frac{\omega_2}{\omega_c}\right)\\ &\Delta=20n\log\left(\frac{\omega_2}{\omega_c}\right)-20n\log\left(\frac{\omega_1}{\omega_c}\right)=20n\log\left(\frac{\omega_2}{\omega_1}\right) \end{align*}\]전달 함수의 \(K\)가 실수라는 가정 하에 설명하겠습니다. 실수는 양수와 음수로 나뉩니다. 두 경우는 약간 다르게 나타납니다.
먼저 양수입니다.
\[F(s)=K\]\(s=j\omega\)를 대입하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} F(j\omega)&=K\\ &=\left\vert K\right\vert\\ &=\left\vert K\right\vert\angle0^{\circ} \end{align*}\]나눠서 표현하면 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j\omega)\right\vert=20\log\left\vert K\right\vert\\ \angle\left\vert F(j\omega)\right\vert=0^{\circ} \end{cases}\]다음으로 음수입니다.
\[F(s)=K\]\(s=j\omega\)를 대입하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} F(j\omega)&=K\\ &=-\left\vert K\right\vert\\ &=\left\vert K\right\vert\angle\left(-180^{\circ}\right) \end{align*}\]나눠서 표현하면 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j\omega)\right\vert=20\log\left\vert K\right\vert\\ \angle\left\vert F(j\omega)\right\vert=-180^{\circ} \end{cases}\]양수 \(K_d\)에 대해 미분에 대한 식은 다음과 같습니다.
\[F(s)=K_ds\]\(s=j\omega\)를 대입하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} F(j\omega)&=jK_d\omega\\ &=K_d\omega\angle90^{\circ} \end{align*}\]나눠서 표현하면 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j\omega)\right\vert=20\log\left(K_d\omega\right)\\ \angle\left\vert F(j\omega)\right\vert=90^{\circ} \end{cases}\]양수 \(K_i\)에 대해 미분에 대한 식은 다음과 같습니다.
\[F(s)=\frac{K_i}{s}\]\(s=j\omega\)를 대입하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} F(j\omega)&=\frac{K_i}{j\omega}\\ &=-j\frac{K_i}{\omega}\\ &=\frac{K_i}{\omega}\angle\left(-90^{\circ}\right) \end{align*}\]나눠서 표현하면 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j\omega)\right\vert=20\log\left(\frac{K_i}{\omega}\right)\\ \angle\left\vert F(j\omega)\right\vert=-90^{\circ} \end{cases}\]좌반면 극점에 대한 식은 다음과 같습니다.
\[F(s)=\frac{1}{1+\frac{s}{\omega_p}}\]\(s=j\omega\)를 대입하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} F(j\omega)&=\frac{1}{1+\frac{j\omega}{\omega_p}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^2}}\angle\left(-\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)\right) \end{align*}\]나눠서 표현하면 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j\omega)\right\vert=20\log\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^2}}\\ \angle\left\vert F(j\omega)\right\vert=-\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right) \end{cases}\]우선 차단 주파수를 찾아봅시다. 크기 표현식에서 로그 속 분모가 \(\sqrt{2}\)가 돼야 합니다. 따라서 차단 주파수는 다음과 같습니다.
\[\omega_c=\omega_p\]이때 크기와 위상은 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j\omega_p)\right\vert=20\log\frac{1}{\sqrt{2}}=-3\ \text{dB}\\ \angle\left\vert F(j\omega_p)\right\vert=-\tan^{-1}1=-45^{\circ} \end{cases}\]\(-3\ \text{dB}\)는 무시하기로 했고, 위상 정보는 그대로 취합니다. 따라서 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j\omega_p)\right\vert=0\ \text{dB}\\ \angle\left\vert F(j\omega_p)\right\vert=-45^{\circ} \end{cases}\]이제 차단 주파수 전후로 어떻게 근사할지 설명하겠습니다. 주파수가 차단 주파수보다 매우 작은 경우는 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j\omega)\right\vert=20\log\frac{1}{\sqrt{1+0}}=0\ \text{dB}\\ \angle\left\vert F(j\omega)\right\vert=-\tan^{-1}0=0^{\circ} \end{cases}\ \ \ \text{for }\omega<<\omega_c\]주파수가 차단 주파수보다 매우 큰 경우는 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j\omega)\right\vert=20\log\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right)^2}}=20\log\left(\frac{\omega_p}{\omega}\right)\\ \angle\left\vert F(j\omega)\right\vert=-\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{\omega_p}\right) \end{cases}\ \ \ \text{for }\omega>>\omega_c\]이전에 언급했듯이 주파수 축은 \(10\)배마다 눈금을 표기합니다. 주파수가 차단 주파수보다 \(10\)배 작은 지점에서는 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j0.1\omega_p)\right\vert=20\log\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{0.1\omega_p}{\omega_p}\right)^2}}=-0.04\ \text{dB}\\ \angle\left\vert F(j0.1\omega_p)\right\vert=-\tan^{-1}\left(\frac{0.1\omega_p}{\omega_p}\right)=-5.71^{\circ} \end{cases}\]이 값들을 다음과 같이 근사합니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j0.1\omega_p)\right\vert=0\ \text{dB}\\ \angle\left\vert F(j0.1\omega_p)\right\vert=0^{\circ} \end{cases}\]이보다 작은 주파수 값에서도 동일한 값을 갖습니다. 주파수가 차단 주파수보다 \(10\)배 큰 지점에서는 다음과 같습니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j0.1\omega_p)\right\vert=20\log\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{10\omega_p}{\omega_p}\right)^2}}=-20.04\ \text{dB}\\ \angle\left\vert F(j0.1\omega_p)\right\vert=-\tan^{-1}\left(\frac{10\omega_p}{\omega_p}\right)=-84.29^{\circ} \end{cases}\]이 값들을 다음과 같이 근사합니다.
\[\begin{cases} 20\log\left\vert F(j0.1\omega_p)\right\vert=-20\ \text{dB}\\ \angle\left\vert F(j0.1\omega_p)\right\vert=-90^{\circ} \end{cases}\]이보다 큰 주파수 값에서는 크기의 경우, 계속 감소하고, 위상은 동일합니다. 크기는 주파수가 \(10\)배 늘어날 때마다 \(20\ \text{dB}\)씩 떨어집니다. 이럴 때 기울기는 \(-20\ \text{dB/dec}\)라고 하거나 간단히 \(-1\)이라고 합니다. 차단 주파수 미만의 주파수에서는 값이 \(0\ \text{dB}\)입니다. 위상은 차단 주파수의 \(0.1\)배부터 \(10\)배까지 \(-45^{\circ}\text{/dec}\)의 기울기를 갖고, 양 끝에서는 각각 \(0^{\circ}\)와 \(-90^{\circ}\)입니다. 이러한 규칙을 가지고 좌반면 극점의 보드 선도를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.