패러데이 법칙(Faraday’s Law)은 다음과 같습니다.
\[\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\]자기장의 변화가 전기장을 유도한다는 의미입니다. \((-)\) 부호는 렌츠의 법칙(Lenz’s Law)으로 자연은 변화에 대해 저항한다는 의미입니다.
다음과 같이 고리 모양의 두 도선을 생각해봅시다.
앞서 보았듯이 고리 도선에 전류가 흐르면 기전력이 발생합니다. 이를 이용한 소자가 있습니다. 바로 인덕터(Inductor)입니다. 혹은 코일(Coil)이라고도 부릅니다.
(Inductor)
인덕터에 전류가 흐르면 다음과 같이 기전력이 발생합니다.
\[v=-L\dot{i}\]여기서 \((-)\) 부호는 전압의 극성을 어떻게 정의하냐에 따라서 붙일 수도 있고, 붙이지 않을 수도 있습니다. 회로를 해석할 때는 인덕터의 전압을 다음과 같이 정의하고, \((-)\) 부호는 사용하지 않습니다.
(Inductor V polarity)
인덕터들이 직렬 또는 병렬로 연결된 상황에서 등가 인덕턴스\((L_{eq})\)를 어떻게 계산하는지 살펴보겠습니다. 인덕터 간의 상호 작용은 없다고 가정합니다.
다음과 같이 인덕턴스가 각각 \(L_k\)인 인덕터들이 직렬 연결된 상황을 생각해봅시다. 각 인덕터에 걸린 전압을 \(v_k\)라고 해봅시다. 인덕터 하나에 걸린 전압은 다음과 같습니다.
\[v_k=L_k\dot{i}\]직렬 연결된 상태이므로 각 인덕터에 흐르는 전류는 같습니다. 총 전압은 다음과 같습니다.
\[v=\sum_k v_k=\sum_k L_k\dot{i}=\left(\sum_k L_k\right)\dot{i}=L_{eq,s}\dot{i}\]따라서 직렬 연결된 인덕턴스들의 등가 인덕턴스는 다음과 같습니다.
\[L_{eq,s}=\sum_k L_k\]다음과 같이 인덕턴스가 각각 \(L_k\)인 인덕터들이 병렬 연결된 상황을 생각해봅시다. 병렬 연결된 상태이므로 각 인덕터에 걸린 전압은 같습니다. 인덕터 하나에 흐르는 전류를 \(i_k\)라고 해봅시다. 각 인덕터에 걸리는 전압은 다음과 같습니다.
\[v=L_k\dot{i}_k\]각 인덕터에 흐르는 전류의 시간 미분은 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &\dot{i}_k=\frac{v}{L_k}\\ &\dot{i}=\frac{v}{L_{eq,p}} \end{align*}\]병렬 연결된 소자들에 흐르는 전류를 모두 더하면 총 전류가 됩니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[\begin{align*} &i=\sum_k i_k\\ &\dot{i}=\sum_k \dot{i}_k\ \ \ \text{(미분은 선형 연산)}\\ &\frac{v}{L_{eq,p}}=\sum_k\frac{v}{L_k}\\ &\frac{1}{L_{eq,p}}=\sum_k\frac{1}{L_k} \end{align*}\]병렬 연결된 인덕터들의 등가 인덕턴스는 다음과 같습니다.
\[L_{eq,p}=\frac{1}{\sum_k\frac{1}{L_k}}\]