능동 필터(Active Filter)는 능동 소자인 연산 증폭기가 이용되는 필터입니다. 수동 필터와는 다르게 신호의 증폭 또한 가능합니다.
능동 필터에는 연산 증폭기, 저항, 축전기가 이용됩니다. 인덕터는 수동 소자 중에서 가장 비싸고, 부피도 제일 크며, 가장 무겁습니다. 공학적 설계에 맞지 않는 요소를 모두 갖추었습니다. 따라서 필요한 상황이 아니라면 쓰지 않는 것이 좋습니다.
앞으로 활용할 연산 증폭기 회로는 다음과 같습니다.
(opamp)
연산 증폭기의 두 단자는 가상 단락되어 있으므로 반전 단자에서 KCL을 적용하면 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &\frac{0-V_{in}(s)}{Z_1(s)}+\frac{0-V_o(s)}{Z_2(s)}=0\\ &\rightarrow H(s)=\frac{V_o(s)}{V_{in}(s)}=-\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)} \end{align*}\]두 임피던스 \(Z_1,Z_2\)를 설계하여 필터를 구성하면 됩니다. 또한 이 회로를 캐스케이딩하여 구성할 수도 있습니다.
저역 필터의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
\[H(s)=\frac{A\omega_c}{s+\omega_c}\]축전기의 임피던스는 분모에 \(s\)가 있으므로 위 식을 \(s\)로 나눠봅시다.
\[\begin{align*} H(s)=A\frac{\displaystyle\frac{\omega_c}{s}}{1+\displaystyle\frac{\omega_c}{s}} \end{align*}\]이는 다음과 같이 \(Z_1\)에 저항을 두고, \(Z_2\)에 저항과 축전기를 병렬 연결한 임피던스를 두면 됩니다.
\[\begin{align*} H(s)&=-\frac{R_2\vert\vert\displaystyle\frac{1}{sC}}{R_1}\\ &=-\frac{R_2}{R_1}\frac{\displaystyle\frac{1}{R_2C}}{s+\displaystyle\frac{1}{R_2C}} \end{align*}\]증폭 비와 차단 주파수는 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &A=-\frac{R_2}{R_1}\\ &\omega_c=\frac{1}{R_2C} \end{align*}\]수동 필터와는 다르게 저항 값을 조절하여 증폭 비를 \(1\)보다 높게 설정할 수 있습니다.
고역 필터의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
\[H(s)=\frac{As}{s+\omega_c}\]축전기의 임피던스는 분모에 \(s\)가 있으므로 위 식을 \(s\)로 나눠봅시다.
\[\begin{align*} H(s)=A\frac{1}{1+\displaystyle\frac{\omega_c}{s}} \end{align*}\]이는 다음과 같이 \(Z_1\)에 저항과 축전기를 직렬 연결한 임피던스를 두고, \(Z_2\)에 저항을 두면 됩니다.
\[\begin{align*} H(s)&=-\frac{R_2}{R_1+\displaystyle\frac{1}{sC}}\\ &=-\frac{R_2}{R_1}\frac{s}{s+\displaystyle\frac{1}{R_1C}} \end{align*}\]증폭 비와 차단 주파수는 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &A=-\frac{R_2}{R_1}\\ &\omega_c=\frac{1}{R_1C} \end{align*}\]수동 필터와는 다르게 저항 값을 조절하여 증폭 비를 \(1\)보다 높게 설정할 수 있습니다.
대역 필터는 저역 필터와 고역 필터를 캐스케이딩하여 구성할 수 있습니다. 먼저 통과 대역을 설계합니다. 다음으로 대역 필터의 차단 주파수 중에서 큰 값을 차단 주파수로 갖는 저역 필터를 설계합니다. 그리고 대역 필터의 차단 주파수 중에서 작은 값을 차단 주파수로 갖는 고역 필터를 설계합니다. 두 필터는 증폭 비 \(1\)로 설계합니다. 두 필터를 캐스케이딩합니다. 그러면 입력 신호 중에서 큰 차단 주파수보다 주파수가 작은 신호들이 저역 필터를 통과합니다. 그리고 그 중에서 작은 차단 주파수보다 주파수가 큰 신호들이 고역 필터를 통과합니다. 이러면 설계한 통과 대역에 해당하는 주파수를 가진 신호들만 통과하게 됩니다. 마지막으로 반전 증폭기를 캐스케이딩하여 증폭을 시키면 됩니다.
전달 함수들은 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &H_{LPF}(s)=-\frac{\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}{s+\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}\\ &H_{HPF}(s)=-\frac{s}{s+\displaystyle\frac{1}{R_HC_H}}\\ &H_{inv}(s)=-\frac{R_2}{R_1} \end{align*}\]주파수 영역에서의 캐스케이딩은 전달 함수 간의 곱으로 표현할 수 있습니다.
\[\begin{align*} H(s)&=H_{LPF}(s)H_{HPF}(s)H_{inv}(s)\\ &=\left(-\frac{\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}{s+\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}\right)\left(-\frac{s}{s+\displaystyle\frac{1}{R_HC_H}}\right)\left(-\frac{R_2}{R_1}\right)\\ &=-\frac{R_2}{R_1}\frac{s\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}{s^2+s\left(\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}+\displaystyle\frac{1}{R_HC_H}\right)+\displaystyle\frac{1}{R_LR_HC_LC_H}} \end{align*}\]일반적인 대역 필터의 전달 함수를 떠올려 봅시다.
\[H_{BPF}(s)=\frac{\beta s}{s^2+\beta s+\omega_0^2}\]두 식을 비교해보면, 분모의 1차항이 다른 것을 알 수 있습니다. 형태를 맞추기 위해 다음의 근사가 필요합니다.
\[\frac{1}{R_LC_L}\gg\frac{1}{R_HC_H}\]합의 경우, 큰 쪽이 지배적이므로 다음과 같습니다.
\[H(s)=-\frac{R_2}{R_1}\frac{s\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}{s^2+s\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}+\displaystyle\frac{1}{R_LR_HC_LC_H}}\]대역 차단 필터는 저역 필터와 고역 필터를 병렬로 연결하여 구성할 수 있습니다. 먼저 차단 대역을 설계합니다. 다음으로 대역 차단 필터의 차단 주파수 중에서 작은 값을 차단 주파수로 갖는 저역 필터를 설계합니다. 그리고 대역 차단 필터의 차단 주파수 중에서 큰 값을 차단 주파수로 갖는 고역 필터를 설계합니다. 두 필터는 증폭 비 \(1\)로 설계합니다. 그리고 두 필터의 출력에 증폭을 위한 저항을 연결합니다. 이제 두 필터를 병렬로 연결합니다. 그러면 입력 신호 중에서 작은 차단 주파수보다 주파수가 작은 신호들이 저역 필터를 통과합니다. 이 신호는 고역 필터를 통과하지 못합니다. 또한 입력 신호 중에서 큰 차단 주파수보다 주파수가 큰 신호들이 고역 필터를 통과합니다. 이 신호는 저역 필터를 통과하지 못합니다. 차단 대역의 주파수를 지닌 신호는 두 필터를 모두 통과하지 못합니다. 마지막으로 반전 증폭기를 캐스케이딩하여 증폭을 시키면 됩니다.
전달 함수들은 다음과 같습니다.
\[\begin{align*} &H_{LPF}(s)=-\frac{\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}{s+\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}\\ &H_{HPF}(s)=-\frac{s}{s+\displaystyle\frac{1}{R_HC_H}}\\ &H_{inv}(s)=-\frac{R_2}{R_1} \end{align*}\]주파수 영역에서의 병렬 연결과 캐스케이딩은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\[\begin{align*} H(s)&=H_{LPF}(s)H_{HPF}(s)H_{inv}(s)\\ &=\left(-\frac{\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}{s+\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}-\frac{s}{s+\displaystyle\frac{1}{R_HC_H}}\right)\left(-\frac{R_2}{R_1}\right)\\ &=\frac{R_2}{R_1}\frac{s\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}}{s^2+s\left(\displaystyle\frac{1}{R_LC_L}+\displaystyle\frac{1}{R_HC_H}\right)+\displaystyle\frac{1}{R_LR_HC_LC_H}} \end{align*}\]